DM suites récurrence



  • Bonjour,

    nous avons un DM a faire pour mardi et nous bloquons sur un exercice. Voila l'énoncé :

    Démontrez que pour tout entier n ≥1, il existe deux entiers pnp_n et qnq_n tels que :

    (2+√3)n3)^n = pnp_n +qn+q_n√3

    Nous ne savons pas comment démarrer.

    Merci d'avance pour votre aide


  • Modérateurs

    Salut.

    Comme écrit dans le titre de ton topic, on peut essayer de démontrer ce résultat par récurrence.

    Au rang 0, le résultat est immédiat.
    Au rang n, part du fait que (2+√3)n3)^n = pnp_n +qn+q_n√3 , et multiplie le tout par 2+√(3).

    @+



  • Désolées on ne comprend pas. De plus n≥1 donc pourquoi prendre le rang 0?


  • Modérateurs

    Salut.

    Effectivement, désolé. Donc au rang 1 c'est immédiat. 😄

    Avez-vous déjà appris le raisonnement par récurrence ou non ?
    Si oui, qu'est-ce que vous ne comprenez pas ?

    @+



  • Pour n=1

    on conclue p1p_1 = 2
    et q1q_1 = 1

    Ensuite lorsqu'on multiplie par 2+√3 on trouve : (2+√3)n+13)^{n+1} = (2+√3)pn3)p_n +(2√3+3)qn3+3)q_n

    On ne voit pas comment arriver au résultat.



  • Alors il s'agit de démontrer que (2+√3)n = pnp_n +qn+q_n√3
    donc Par récurrence on passe par 3 points :

    i) initialisation , on vérifi pour P(1)
    ce qui donne : 2 + √3 = pnp_n + qnq_n√3
    l'equation est vérifiée on a bien pour n = 1 quleuqe chose de la forme pnp_n + qnq_n√3, dans ce cas là pnp_n=2 et qnq_n= 1

    ii) hérédité : on admet la phrase P(n) : (2+√3)n3)^n = pnp_n +qn+q_n√3 vraie et on cherche à démontrer que P(n) induit P(n+1) : (2+√3)n+13)^{n+1} = pn+1p_{n+1} + qn+1q_{n+1}√3

    On part de l'equation (2+√3)n3)^n= pnp_n + qnq_n√3 et on multiplie les deux membres de l'equation par (2+√3) de sorte à obtenir (2+√3)n+13)^{n+1} à gauche ce qui nous donne :
    (2+√3)n+13)^{n+1} = (2+√3)(pn3)(p_n + qnq_n√3)

    Voilà je te laisse continuer ce n'est plus que du calcul mais j'espère que tu as compris le raisonnement maintenant il faut que tu trouve quelque chose de la forme pn+1p_{n+1} + qn+1q_{n+1}√3 en calculant que sur la partie droite de l'equation (car la partie gauche est exactement comme P(n+1), la propriété que tu cherches à démontrer) et en sachant que pn+1p_{n+1} et qn+1q_{n+1} doivent être des entiers, n'importe lesquels.


  • Modérateurs

    Salut.

    Zoombinis a à peu près résumé.

    Vous avez bien commencé au rang n. Maintenant développez, et essayez d'identifier pn+1p_{n+1} et qn+1q_{n+1}. Rappelez-vous que qn+1q_{n+1} doit être facteur de √(3).

    @+



  • Peut-on démontrer que pn+1p_{n+1} = (2+√3)pn3)p_n et de même pour qn+1q_{n+1} en utilisant le fait que (2+√3)n3)^n soit une suite UnU_n et que (2+√3)n+13)^{n+1} soit le terme Un+1U_{n+1} et ainsi montrer qu'il s'agit d'une suite géométrique de raison (2+√3)



  • Non pas du tout tu t'ecartes, t'es dans le domaine de la récurrence, déja tu cherche à démontrer que (2+√3)n3)^n = pnp_n + qnq_n√3 , même si tu l'admet vraie , il ne l'est pas tant que tu n'as pas fini ta desmonstration par récurrence


  • Modérateurs

    Salut.

    Non, car les pnp_n et les qnq_n sont tous des entiers.

    Vous en étiez là: (2+√3)n+13)^{n+1} = (2+√3)pn3)p_n +(2√3+3)qn3+3)q_n

    Développez le membre de droite, puis regroupez les termes facteurs de √3. Ensuite, écrivez ce qui vous semble être pn+1p_{n+1} et qn+1q_{n+1} , expliquez pourquoi ce sont des entiers.

    @+



  • On trouve (2+√3)n+13)^{n+1} = 2pn2p_n +3qn+3q_n + (p(pn+2qn+2q_n)√3
    mais comment expliquer que p</em>n+1p</em>{n+1} = 2p2pn+3qn+3q_n et que q</em>n+1q</em>{n+1} = (pn(p_n +2qn+2q_n)√3


  • Modérateurs

    Salut.

    Bravo ! C'est ça.

    Pas besoin de l'expliquer, c'est toi qui pose les définitions des pnp_n et des qnq_n. Tant qu'ils sont entiers, ce n'est pas en désaccord avec l'énoncé, vu que c'est la seule contrainte que l'on t'ai imposée.

    @+



  • Merci beaucoup pour votre aide.


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