Démontrer par récurrence l'égalité de deux expressions avec des fonctions trigonométriques

[fabio]

Bonjour à tous,

j'ai un DM pour lundi et je coince sur un exo.

x désigne un nombre réel et pour tout entier naturel n non nul, on pose:

$C_n$= cosx + cos3x +...+cos(2n-1)x

1. En utilisant les formules de trigonométrie élementaire, prouvez que :

sinacosb = 1/2(sin(a+b) + (sin(a-b))

et sin2a=2sinacosa

2.Tranformez en des sommes les expressions suivantes :

sinxcos(2n+1)x et sinnxcosnx

3. Démontrez que pour tout entier n≥1 et pour tout x≠k*pi (k∈Z):

$C_n$=cosnx((sinnx)/(sinx))

Pour le 1 j'ai trouvé.
Pour le 2 j'ai :

sinxcos(2n+1)x=1/2(sin(2x+2nx)+sin(2nx))

et sinnxcosnx=1/2sin2nx

Pour le 3 je ne vois pas comment faire.

Merci d'avance pour votre aide.

[Jeet-chris]

Salut.

Pour la 2), sinxcos(2n+1)x=1/2(sin(2x+2nx)+sin(2nx)), je ne suis pas d'accord avec le +sin(2nx): a-b=-2nx pour moi.

Donc:

$sin(x)cos((2n+1)x)=\frac{1}{2}(sin((2n+2)x)-sin(2nx))$

$sin(nx)cos(nx)=\frac{1}{2}sin(2nx)$

De plus:

$c_n=cos(x)+cos(3x)+\cdots +cos((2n-1)x)$

On aimerait montrer

$\forall n\ge 1,c_n=\frac{cos(nx)sin(nx)}{sin(x)}$

Comme écrit dans le titre, on peut raisonner par récurrence.

Pour n=1, c'est immédiat.
Pour un n donné, on sait que

$c_n=\frac{cos(nx)sin(nx)}{sin(x)}=cos(x)+cos(3x)+\cdots +cos((2n-1)x)$

Le numérateur te rappelle la question 2) non ?
Ensuite, vu que l'on ne sait pas quoi faire, pourquoi ne pas ajouter cos((2(n+1)-1)x) à C_n ? On se ramènerait alors à C_{n+1} !

Je veux dire que:

$c_n+cos((2(n+1)-1)x)=c_{n+1}=\frac{cos(nx)sin(nx)}{sin(x)}+cos((2(n+1)-1)x)$

Or
$cos((2(n+1)-1)x)=cos((2n+1)x)$

Arriverais-tu à manipuler tout ça pour arriver à

$c_{n+1}=\frac{cos((n+1)x)sin((n+1)x)}{sin(x)}$

? Ce qui achèverait la récurrence.

Bon courage

@+

[fabio]

Merci beaucoup j'ai réussi à terminer.
@+