récurrence



  • Bonjour à tous,

    j'ai un DM pour lundi et je coince sur un exo.

    x désigne un nombre réel et pour tout entier naturel n non nul, on pose:

    CnC_n= cosx + cos3x +...+cos(2n-1)x

    1. En utilisant les formules de trigonométrie élementaire, prouvez que :

    sinacosb = 1/2(sin(a+b) + (sin(a-b))

    et sin2a=2sinacosa

    2.Tranformez en des sommes les expressions suivantes :

    sinxcos(2n+1)x et sinnxcosnx

    1. Démontrez que pour tout entier n≥1 et pour tout x≠k*pi (k∈Z):

    CnC_n=cosnx((sinnx)/(sinx))

    Pour le 1 j'ai trouvé.
    Pour le 2 j'ai :

    sinxcos(2n+1)x=1/2(sin(2x+2nx)+sin(2nx))

    et sinnxcosnx=1/2sin2nx

    Pour le 3 je ne vois pas comment faire.

    Merci d'avance pour votre aide.


  • Modérateurs

    Salut.

    Pour la 2), sinxcos(2n+1)x=1/2(sin(2x+2nx)+sin(2nx)), je ne suis pas d'accord avec le +sin(2nx): a-b=-2nx pour moi.

    Donc:

    sin(x)cos((2n+1)x)=12(sin((2n+2)x)sin(2nx))sin(x)cos((2n+1)x)=\frac{1}{2}(sin((2n+2)x)-sin(2nx))

    sin(nx)cos(nx)=12sin(2nx)sin(nx)cos(nx)=\frac{1}{2}sin(2nx)

    De plus:

    cn=cos(x)+cos(3x)++cos((2n1)x)c_n=cos(x) + cos(3x) + \cdots + cos((2n-1)x)

    On aimerait montrer

    n1,cn=cos(nx)sin(nx)sin(x)\forall n \geq 1, \qquad c_n=\frac{cos(nx)sin(nx)}{sin(x)}

    Comme écrit dans le titre, on peut raisonner par récurrence.

    Pour n=1, c'est immédiat.
    Pour un n donné, on sait que

    cn=cos(nx)sin(nx)sin(x)=cos(x)+cos(3x)++cos((2n1)x)c_n=\frac{cos(nx)sin(nx)}{sin(x)}=cos(x) + cos(3x) + \cdots + cos((2n-1)x)

    Le numérateur te rappelle la question 2) non ?
    Ensuite, vu que l'on ne sait pas quoi faire, pourquoi ne pas ajouter cos((2(n+1)-1)x) à C_n ? On se ramènerait alors à C_{n+1} !

    Je veux dire que:

    cn+cos((2(n+1)1)x)=cn+1=cos(nx)sin(nx)sin(x)+cos((2(n+1)1)x)c_n + cos((2(n+1)-1)x) = c_{n+1} = \frac{cos(nx)sin(nx)}{sin(x)} + cos((2(n+1)-1)x)

    Or
    cos((2(n+1)1)x)=cos((2n+1)x)cos((2(n+1)-1)x) = cos((2n+1)x)

    Arriverais-tu à manipuler tout ça pour arriver à

    cn+1=cos((n+1)x)sin((n+1)x)sin(x)c_{n+1}=\frac{cos((n+1)x)sin((n+1)x)}{sin(x)}

    ? Ce qui achèverait la récurrence.

    Bon courage 😉

    @+



  • Merci beaucoup j'ai réussi à terminer.
    @+


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