Petit exercice sur la récurrence.



  • Voila l'exercice :

    La suite (Un) est definie par :
    u0=8u_{0}=8 et un+1=3un5u_{n+1}=3u_{n}-5

    1 . Montrer par recurrence qu'a partir d'un rang que l'on a :
    Un ≥ 2n+32^{n+3}

    2 . En deduire que la suite (Un) diverge vers +∞ .

    donc le 1.

    . on montre au 1er terme que la proprieté est vraie :
    U0U_0 = 8 et 20+32^{0+3} = 8
    donc Pour U0U_0 la propriéte est vrai : U0U_020+32^{0+3}

    . Supposons qu'a partir d'un certain n , P(n) [ Un ≥ 2n+32^{n+3} ] est vraie , montrons qu'alors que P(n+1P(_{n+1}) est vraie .

    donc :

    un+1=3un5u_{n+1}=3u_{n}-5
    Je sais que le but est de retrouver l'hypothese dans le calcule mais la je ne voie pas ..

    Et le 2. je ne connais pas les propiete qui montre qu'une suite diverge . :frowning2:

    Voila , si vous pouvez m'aider svp , car je n'arrive pas :frowning2:

    merci d'avance !



  • Au rang n+1, P(n+1) est sous la forme :

    Un+1≥2(n+1)+32^{(n+1)+3} ou encore Un+1≥2n+42^{n+4}.

    Si ça peut t'aider...



  • Le but serai de montrais que Un+1U_{n+1}2n+42^{n+4}
    Mais j'essaye mais je voie pas comment arriver a ça . 😕



  • j'etais en train de l'ecrire quand tu as posté ! ^^
    Je vais encore chercher meme si je n'arrive pas !
    merci



  • 22^{n+4}=2n+3=2^{n+3}*2
    Tu peux partir de là.



  • une autre voie :
    un+1=3un5u_{n+1}=3u_{n}-5
    un+1+5=3unu_{n+1}+5 =3u_{n}
    (un+1+5u_{n+1}+5) / 3 =un=u_{n}

    (un+1+5u_{n+1}+5) / 3 ≥ 2n+32^{n+3}

    Peut m'expliquer comment utilisé ton ton 'calcule' dans la reccurecence ?

    Car 22^{n+4}=2n+3=2^{n+3}*2 je le place ou ?? car , c'est seulement pour Un qu'on peut affirmer qu'il est : Un ≥ 2n+32^{n+3} , vu que c'est l'hypothese !

    merci



  • (un+1+5u_{n+1}+5) / 3 ≥ 2n+32^{n+3}

    (3un3 un) / 3 ≥ 2n+32^{n+3}

    (unun) ≥ 2n+32^{n+3}

    Non c'est pas demontrée correctement .



  • Juliedeparis
    Voila l'exercice :

    La suite (Un) est definie par :
    u0=8u_{0}=8 et un+1=3un5u_{n+1}=3u_{n}-5

    1 . Montrer par recurrence qu'a partir d'un rang que l'on a :
    Un ≥ 2n+32^{n+3}

    2 . En deduire que la suite (Un) diverge vers +∞ .

    donc le 1.

    . on montre au 1er terme que la proprieté est vraie :
    U0U_0 = 8 et 20+32^{0+3} = 8
    donc Pour U0U_0 la propriéte est vrai : U0U_020+32^{0+3}

    . Supposons qu'a partir d'un certain n , P(n) [ Un ≥ 2n+32^{n+3} ] est vraie , montrons qu'alors que P(n+1P(_{n+1}) est vraie .

    donc :

    un+1=3un5u_{n+1}=3u_{n}-5
    Je sais que le but est de retrouver l'hypothese dans le calcule mais la je ne voie pas ..

    Et le 2. je ne connais pas les propiete qui montre qu'une suite diverge . :frowning2:

    Voila , si vous pouvez m'aider svp , car je n'arrive pas :frowning2:

    merci d'avance !

    svp , désolée pour le "up" mais j'ai peur qu'on m'ai oublié :frowning2:
    merci .



  • probleme resolut ! merci


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