déterminer 2 réels a et b

slt aidez moi svp je doi le faire pour lundi et cette question me bloque ça fait paritt d'un DM sur les limites mais celles là ne traite pas des limites.

f(x) = (x²+3) / (1-x)

Déterminer les réels a et b tels que, pour x différent de 1, on ait : f(x)= ax+b+(4/(x-1))

Voilà, ba enfait je ne voit pas du tout comment trouver la valeur de a ou b!!! c'est a rendre pour lundi si quelqu'un pouvait m'aider se serait sympa merci à l'avance.

y a deux facons de repondre a ce genre de kestion.

Ou bien on est tres imaginatif ....
Dans ce cas, on remark simplman ke x^2+3 = (x^2 - 1) + 4 et le tour est joue ... t'as vu ? Bien entendu g bien di il fo vraiman avoir l'"oeil" pour le resoudre com ca et d fois c un peu plu complike que ca , la methode suivante marche tt le temps ...
Si on est pa tres imaginatif, on utilise ce kon apel une method par identification :
on sait que f(x) = (x^2+3)/(1-x). Si les constantes a et b sont tels que f(x) = ax + b + 4/(1-x), alors on doit avoir : (x^2+3)/(1-x) = ax + b +4/(1-x). Rends le deuxieme membre de cette egalite au meme denominateur, multiplies tt le monde par (1-x), et tu obtiendras une egalite entre deux polynomes du second degre. Enfin, rappelles toi que deux polynomes sont egaux si et ssi ils ont les memes coefficients, donc le coefficient de x^2 a gauche est egal a celui de x^2 a droite, celui de x a gauche a droite egal a celui de x a gauche, et le coefficient constant a gauche est egal au coefficient constant a droite. Ca te donne un pti systeme de niveau 3eme que tu resoudra pour trouver les inconnues a et b.
bonne chance et n'hesites pas si t'as des pblms....

merci c'est trop sympa d'avoir rep aussi vite mais la seconde methode que tu as utilisé je n'est jamais vu ça ni le theoreme avec les meme coefficient donc c'est un peu flou pour moi j'abuse mais pourrais tu me redié une reponse pour que je voi vraiement comment tu fais ce serai trop cool!!!!

OK, on a f(x) = (x^2+3)/(1-x).
Et on nous demande de l'ecrir sous la forme f(x) = ax + b + 4/(1-x).
On rend la deuxieme ecriture au meme denominateur, ca donne :
f(x) = ((ax+b)(1-x) + 4)/(1-x) = (-ax^2 + (a-b)x +b +4) / (1-x).
Maintnan on ecri que (x^2 + 3)/(1-x) = (- ax^2 + (a-b)x + b + 4)/(1-x) et donc en multipliant les deux membres par (1-x), on obtient :
x^2 + 3 = -ax^2 + (a - b)x + b + 4.
Jusqu' la pas de miracle, y a rien de surprenan, non ??? (si t'as des pblms demand precizeman ...)
Maintenan, on utilise un theoreme (qui doit forceman se trouver dans ton cours ... sous le nom (je pense) "egalite de deux polynomes") qui dit que deux polynomes sont egaux si et ssi ils ont les memes coefficients. Donc puisque les polynomes x^2 + 3 et -ax^2 + (a-b)x + b +4 sont egaux, ils ont les memes coefficients, cad :
1 = -a (ce sont les coefficients de x^2 dans les deux polynomes)
0 = a - b (ce sont les coefficients de x : dans x^2 + 3, y a pas de x donc le coeff vaut 0)
3 = b + 4, ceci donne le systeme suivant de 3 equations a 2 inconnues :
{ 1 = -a
{ 0 = a - b
{ 3 = b + 4

Tu utilises les deux premieres pour trouver a et b (on a : a = -1 et b = -1) puis tu remplaces dans la 3eme pour verifier que tout va bien : c'est le cas, car 3 = -1 + 4.
Donc on a trouve a = b = -1. Et donc : f(x) = -x - 1 + 4/(1-x).
Gsper k c tres clair...