exercice sur les suites (récurrence)



  • BONJOUR !

    On a un+1=un+82×un+1u_{n+1} = \frac{u_n+8 }{2\times u_n +1} ; u0=1u_0 =1.

    On veut démontrer que u(n) est compris entre 1 et 3: 1un31\leq u_n \leq3.

    MERCI !



  • tu as fait la recurrence?



  • oui mais je n'ai pas trouvé



  • i) Initialisation on verifie la propriété P(n) : 1≤ unu_n≤3 pour n = 0
    1 ≤ 1 ≤ 3 , P(0) est donc vraie
    ii) Hérédite , on admet P(n) vraie ... et on cherche à démontrer que P(n+1) : 1≤un+1u_{n+1}≤3 est vraie aussi

    1≤unu_n≤3
    9≤unu_n + 8 ≤ 11
    ça devrait te mettre sur la voie...



  • et après on trouve 3≤u(n)≥7 mais je ne vois pas comment on obtient la suite



  • je n'arrive pas à faire cet exercice pour vendredi et c'est assez urgent alors je vous demande de m'aider absolument , s'il vous plait, merci d'avance.



  • couli
    absolument , s'il vous plait
    lol
    Alors je te propose d'écrire pour tout n

    un+1=12+154un+2u_{n+1} = \frac12 + \frac{15}{4u_n+2}
    ou queque chose dans le genre - vérifie que j'ai pas fait d'erreur bête.
    Ensuite, tu supposes (HR) que 1un31\leq u_n\leq3, et tu encadres un+1u_{n+1} grâce à l'égalité ci-dessus.



  • je vois pas trop le truc mais bon



  • En TS, faudrait essayer de percuter un peu.

    Tu sais que 1 ≤ a ≤ 3 pour simplifier.

    A toi de montrer que

    1 ≤ 1/2 + 15/(4a+2) ≤ 3

    ce qui est facilement faisable en décomposant

    a → 4a+2 → 1/(4a+2) → 15/(4a+2) → 1/2 + 15/(4a+2).



  • a la fin je trouve , si je ne pense pas m'etre trompé, 3≥u(n+1)≥11/7
    et 11/7=1.57...



  • La borne inférieure est 1/2 + 15/14 = 22/14, ok.


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