exercice sur les suites (récurrence)

BONJOUR !

On a $un+1=un+82×un+1u_{n+1} = \frac{u_n+8 }{2\times u_n +1}$ ; $u_0 =1$ .

On veut démontrer que u(n) est compris entre 1 et 3: $1≤un≤31\leq u_n \leq3$ .

MERCI !

tu as fait la recurrence?

oui mais je n'ai pas trouvé

i) Initialisation on verifie la propriété P(n) : 1≤ $u_n$ ≤3 pour n = 0
1 ≤ 1 ≤ 3 , P(0) est donc vraie
ii) Hérédite , on admet P(n) vraie ... et on cherche à démontrer que P(n+1) : 1≤ $u_{n+1}$ ≤3 est vraie aussi

1≤ $u_n$ ≤3
9≤ $u_n$ + 8 ≤ 11
ça devrait te mettre sur la voie...

et après on trouve 3≤u(n)≥7 mais je ne vois pas comment on obtient la suite

je n'arrive pas à faire cet exercice pour vendredi et c'est assez urgent alors je vous demande de m'aider absolument , s'il vous plait, merci d'avance.

couli
absolument , s'il vous plait
lol
Alors je te propose d'écrire pour tout n

$un+1=12+154un+2u_{n+1} = \frac12 + \frac{15}{4u_n+2}$
ou queque chose dans le genre - vérifie que j'ai pas fait d'erreur bête.
Ensuite, tu supposes (HR) que $1≤un≤31\leq u_n\leq3$ , et tu encadres $u_{n+1}$ grâce à l'égalité ci-dessus.

je vois pas trop le truc mais bon

En TS, faudrait essayer de percuter un peu.

Tu sais que 1 ≤ a ≤ 3 pour simplifier.

A toi de montrer que

1 ≤ 1/2 + 15/(4a+2) ≤ 3

ce qui est facilement faisable en décomposant

a → 4a+2 → 1/(4a+2) → 15/(4a+2) → 1/2 + 15/(4a+2).

a la fin je trouve , si je ne pense pas m'etre trompé, 3≥u(n+1)≥11/7
et 11/7=1.57...

La borne inférieure est 1/2 + 15/14 = 22/14, ok.