Note de cours : pourcentage et évolution



  • Evolution en pourcentage

    En ce début d'année, de fréquentes questions reviennent sur les pourcentages associés à des évolutions. Voici une note de cours pour fixer les idées. Je rappelle que la connaissance de leçons est indispensable pour faire les exercices sereinement.

    1. Multiplicateur associé à une évolution

    On donne ici les deux résultats principaux à connaître sur les hausses/baisses en pourcentage.

    Dans ce qui suit, on considère que la lettre xx désigne un taux de pourcentage positif.

    Propriété 1
    Une hausse de xx% sur une grandeur YY est traduite en multipliant YY par 1+x100.1+\frac x{100}.

    Exemples :

    • le prix d'un objet augmente de 30% si et seulement si ce prix est multiplié par 1+301001+\frac{30}{100}, c'est-à-dire par 1,3 ;

    • un prix est multiplié par 2,5 si et seulement s'il augmente de 150% ; en effet, on a 1+x100=2,5x=1501+\frac x{100} = 2,5 \Leftrightarrow x=150.

    Propriété 2
    Une baisse de xx% sur une grandeur YY est traduite en multipliant YY par 1x100.1-\frac x{100}.

    Exemples :

    • diminuer un prix de 10% revient à le multiplier par 0,9 ;

    • multiplier un prix par 0,75 revient à le diminuer de 25%, puisque 1x100=0,75x=251-\frac x{100} = 0,75 \Leftrightarrow x=25.

    Un point de méthode
    Retrouver une valeur initiale après évolution.

    Supposons qu'un prix ait été augmenté de 15%, pour être fixé à 32,66€. Quel était la valeur initiale de ce prix ?

    Avec le multiplicateur 1+15100=1,151+\frac{15}{100}=1,15, on pose tout simplement l'équation
    1,15Y=32,661,15 Y = 32,66
    grâce à laquelle on trouve 28,4€.

    2. Evolutions successives

    On donne quelques conséquences des prorpiétés 1 et 2.

    Propriété 3
    Une hausse de xx% et une baisse yy% sont commutatives : on peut les effectuer dans n'importe quel ordre.

    En effet, en appliquant d'abord la hausse de xx%, on multiplie la valeur initiale YY par 1+x1001+\frac x{100} ; ensuite, en appliquant la baisse de yy% à la valeur intermédiaire de YY, on multiplie par 1y1001-\frac y{100} pour obtenir la valeur finale de YY.
    En définitive, on a
    Yf=(1y100)×(1+x100)×YiY_f = (1-\frac y{100})\times(1+\frac x{100})\times Y_i
    Ceci montre la propriété 3, puisque l'on a (1y100)×(1+x100)=(1+x100)×(1y100)(1-\frac y{100})\times(1+\frac x{100})=(1+\frac x{100})\times(1-\frac y{100}).

    Conséquence :

    Diminuer de 10% puis augmenter de 20% revient au même qu'augmenter de 20% puis baisser de 10%. D'ailleurs, cela revient à multiplier par 0,9×1,2=1,08 : c'est une hausse de 8%.
    Ceci illustre le fait que les évolutions en pourcentage n'ont pas de propriété vis-à-vis de l'addition : on se gardera d'ajouter des taux d'évolution !

    Propriété 4
    Une hausse et une baisse du même taux ne se compensent pas : elles se résument toujours à une baisse.

    En effet, on a (1+x100)×(1x100)=1x2100001(1+\frac x{100})\times(1-\frac x{100}) = 1 - \frac{x^2}{10000} \ne 1.

    Exemple :

    Une baisse de 30% suivie d'une hausse de 30% reviennent à une baisse de 9%. En effet, on a (1+0,30)(10,30)=10,09(1+0,30)(1-0,30) = 1-0,09.



  • Diable ! j'ai omis de démontrer la propriété 1 !

    Voici la preuve.

    Nommons YiY_i la valeur initiale de la grandeur YY.

    On l'augmente de xx% : la valeur de la hausse hh est donc

    h=x100×Yih=\frac{x}{100}\times Y_i
    La valeur finale YfY_f de la grandeur YY est donc égale à

    Yf=Yi+h=Yi+x100×YiY_f = Y_i+h = Y_i + \frac{x}{100}\times Y_i

    D'où, en factorisant par YiY_i, l'expression :

    Yf=Yi×(1+x100).Y_f = Y_i\times(1+\frac x{100}).



  • merci de votre aide 😄



  • 3. Quelques compléments qualitatifs

    En conséquence de la traduction par multiplicateur des hausses ou baisses exprimées en pourcentages, on peut énoncer les faits suivants (qui surprennent parfois le néophyte) :

    • une hausse de xx% n'est jamais compensée par une baisse de xx% et de même, une baisse de xx% n'est jamais compensée par une hausse de xx% (simple reformulation de la propriété 4) ;

    • pour des hausses et des baisses successives exprimées en pourcentages, on n'ajoute (surtout) pas les taux : il faut multiplier les multiplicateurs (conséquence de la propriété 3) ;

    • **si une même hausse de xx% est appliquée plusieurs fois, par exemple nn fois, alors le multiplicateur global est égal à

    (1+x100)n\big(1+\frac x{100}\big)^n

    et si le taux xx% est petit, alors, une approximation du multiplicateur est donnée par 1+n×x1001+\frac{n\times x}{100}, c'est-à-dire que la hausse globale est approximative ment de n×xn\times x%**.

    en effet, on a (1+x)n(1+x)^n = 1 + n x + x2x^2 P(x), où P est un polynôme en x ; alors, avec x "petit" (ce qui signifie proche de 0), la quantité x2x^2 P(x) est négligeable devant les premiers termes 1 et (n x).



  • Application du dernier point ci-dessus.

    On place une somme à un faible taux annuel, comme 0,5% ; au bout de combien de temps le capital aura t-il doublé ?

    On augmente le capital de 0,5% la première année ; ce nouveau capital est à son tour augmenté de 0,5% la seconde année, etc.

    Voici : le capital après n années, sera 1,005n005^n fois le capital initial. Il s'agit donc de résoudre l'inéquation 1,005n005^n ≥ 2. Ceci peut se faire par tatônnement, ou en recourant aux logarithmes.

    Mais pour un calcul rapide, on utilise l'approximation estimant que le capital est à-peu-près (1+0,005n) fois la somme initiale. Il s'agit ici de résoudre l'inéquation 1+0,005n ≥ 2, c'est-à-dire 0,005n ≥ 1. Il suffit donc que n dépasse 200.

    Bien entendu, ce résultat est très approximatif, puisque la résolution "exacte" conduit à n ≥ 139, mais l'ordre de grandeur est correct, non ?



  • 4. Taux moyen

    Lorsqu'une quantité Q0Q_0 subit plusieurs évolutions successives quelconques en exprimées en pourcentage pour atteindre une valeur finale QnQ_n, on peut chercher quelle serait le taux constant qu'il faudrait appliquer autant de fois à la quantité initiale pour obtenir le même effet.

    Plus précisément, si l'on a

    Q0Q_0Q1Q_1 par une hausse de a%
    Q1Q_1Q2Q_2 par une baisse de b%
    ...
    Qn1Q_{n-1}QnQ_n par une hausse de c%

    alors on sait que

    Qn=(1+a100)(1b100)...(1+c100)Q0Q_n = \big(1+\frac a{100}\big)\big(1-\frac b{100}\big)...\big(1+\frac c{100}\big) Q_0

    On cherche le taux constant t%, tel que

    Qn=(1±t100)nQ0Q_n = \big(1\pm \frac t{100}\big)^n Q_0

    C'est précisément ce taux t% qui est appelé taux moyen d'évolution entre Q0Q_0 et QnQ_n : bien entendu, ce n'est certainement pas la moyenne des taux, piège classique à éviter !



  • Voici un exemple pour fixer les idées :

    **Un capital C0C_0 = 2500€ initial, est placé pendant quatre ans, la première année à +5%, la seconde année à +8%, la 3e année à +13% et la quatrième et dernière année à +21% (taux imaginaires).

    Quel est le taux moyen de ce placement ?**

    Au bout des quatre années, le capital est égal à
    Q4Q_4 = 1,05×1,08×1,13×1,21×2500 = 3876,30€ au centime près.

    Avec le taux moyen t%, on a aussi : Q4Q_4 = (1+t/100)4(1+t/100)^4×2500.

    Il s'agit donc de déterminer t tel que

    (1+t100)4=3876,325001,55052\left(1+\frac t{100}\right)^4 = \frac{3876,3}{2500} \simeq 1,55052

    Alors, avec la racine-quatrième, on a

    1+t1001,5505241,115885.1+\frac t{100} \simeq \sqrt[4]{1,55052} \simeq 1,115885.

    d'où t(1,1158851)×100t \simeq (1,115885 - 1)\times 100 soit $t \simeq 11,5885%$

    Vérification : on a bien (1+0,115885)4115885)^4×2500 ≈ 3876,30.

    Conclusion : une hausse constante de 11,55885% par an pendant quatre ans conduit à la même évolution que des hausses successives de 5%, puis 8% puis 13% et enfin 21% par an.

    Remarque (un autre calcul de ce taux moyen) : la valeur du capital initial est sans importantce, le taux moyen ne dépend que des taux "intermédiaires".

    On a en fait cette égalité, qui ne porte que sur les multiplicateurs

    (1+t100)4=1,05×1,08×1,13×1,21=1,5505182\left(1+\frac t{100}\right)^4 = 1,05\times 1,08\times 1,13\times 1,21 = 1,5505182

    donc on a

    t=(1,550518241)×10011,58843t = \big(\sqrt[4]{1,5505182}-1\big)\times 100 \simeq 11,58843

    ce qui est "sensiblement" le même résultat.



  • merci beaucoup j' espere que ceci m' aidera je vais essayer de refaire l'exercice. bonne fin de soirée 😁 😁 😁 😁



  • Lors d'un DM on me pose cette question :
    Un prix baisse de 10%. De quel pourcentage doit on réaugmenter ce prix pour revenir a son tarif initial.
    Pouvez vous m'indiquer dans votre tutoriel de quels propriété s'agit-il? merci



  • Bonsoir

    La propriété 3 peut te servir... sers-toi judicieusement des multiplicateurs !



  • Zauctore
    Bonsoir

    La propriété 3 peut te servir... sers-toi judicieusement des multiplicateurs !

    Oui merci Zauctore grâce à vous j'ai trouvé la réponse .



  • La valeur d'un capital C a augmenté de 48% en 5ans.
    Ce capital était placé à un taux de t% à intérêts composés. Calculer t.

    Je n'ai pas C
    0ni C
    5

    Je crois pas qu'il faille que je prenne une valeur au hasard.

    Il me faut surement juste un petit truc pour débloquer tout, quelqu'un aurait ce petit truc?


  • Modérateurs

    Bonjour Wendy,

    Le coefficient multiplicateur sur 5 ans est donc 1+48/100.

    t étant le taux moyen annuel, il faut résoudre (1+t/100)5(1+t/100)^5=1+48/100
    Cela donne :
    1+t100=(1+48100)151+\frac{t}{100}=(1+\frac{48}{100})^{\frac15}

    Il ne reste plus qu'à extraire t.


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