Note de cours : pourcentage et évolution

[Zauctore]

Evolution en pourcentage

En ce début d'année, de fréquentes questions reviennent sur les pourcentages associés à des évolutions. Voici une note de cours pour fixer les idées. Je rappelle que la connaissance de leçons est indispensable pour faire les exercices sereinement.

1. Multiplicateur associé à une évolution

On donne ici les deux résultats principaux à connaître sur les hausses/baisses en pourcentage.

Dans ce qui suit, on considère que la lettre $x$ désigne un taux de pourcentage positif.

Propriété 1
Une hausse de $x$% sur une grandeur $Y$ est traduite en multipliant $Y$ par $1+\frac{x}{100}.$

Exemples :

• le prix d'un objet augmente de 30% si et seulement si ce prix est multiplié par $1+\frac{30}{100}$, c'est-à-dire par 1,3 ;

• un prix est multiplié par 2,5 si et seulement s'il augmente de 150% ; en effet, on a $1+\frac{x}{100}=2,5\iff x=150$.

Propriété 2
Une baisse de $x$% sur une grandeur $Y$ est traduite en multipliant $Y$ par $1-\frac{x}{100}.$

Exemples :

• diminuer un prix de 10% revient à le multiplier par 0,9 ;

• multiplier un prix par 0,75 revient à le diminuer de 25%, puisque $1-\frac{x}{100}=0,75\iff x=25$.

Un point de méthode
Retrouver une valeur initiale après évolution.

Supposons qu'un prix ait été augmenté de 15%, pour être fixé à 32,66€. Quel était la valeur initiale de ce prix ?

Avec le multiplicateur $1+\frac{15}{100}=1,15$, on pose tout simplement l'équation
$1,15Y=32,66$
grâce à laquelle on trouve 28,4€.

2. Evolutions successives

On donne quelques conséquences des prorpiétés 1 et 2.

Propriété 3
Une hausse de $x$% et une baisse $y$% sont commutatives : on peut les effectuer dans n'importe quel ordre.

En effet, en appliquant d'abord la hausse de $x$%, on multiplie la valeur initiale $Y$ par $1+\frac{x}{100}$ ; ensuite, en appliquant la baisse de $y$% à la valeur intermédiaire de $Y$, on multiplie par $1-\frac{y}{100}$ pour obtenir la valeur finale de $Y$.
En définitive, on a
$Y_f=(1-\frac{y}{100})\times (1+\frac{x}{100})\times Y_i$
Ceci montre la propriété 3, puisque l'on a $(1-\frac{y}{100})\times (1+\frac{x}{100})=(1+\frac{x}{100})\times (1-\frac{y}{100})$.

Conséquence :

Diminuer de 10% puis augmenter de 20% revient au même qu'augmenter de 20% puis baisser de 10%. D'ailleurs, cela revient à multiplier par 0,9×1,2=1,08 : c'est une hausse de 8%.
Ceci illustre le fait que les évolutions en pourcentage n'ont pas de propriété vis-à-vis de l'addition : on se gardera d'ajouter des taux d'évolution !

Propriété 4
Une hausse et une baisse du même taux ne se compensent pas : elles se résument toujours à une baisse.

En effet, on a $(1+\frac{x}{100})\times (1-\frac{x}{100})=1-\frac{x^2}{10000}\ne 1$.

Exemple :

Une baisse de 30% suivie d'une hausse de 30% reviennent à une baisse de 9%. En effet, on a $(1+0,30)(1-0,30)=1-0,09$.

[Zauctore]

Diable ! j'ai omis de démontrer la propriété 1 !

Voici la preuve.

Nommons $Y_i$ la valeur initiale de la grandeur $Y$.

On l'augmente de $x$% : la valeur de la hausse $h$ est donc

$h=\frac{x}{100}\times Y_i$
La valeur finale $Y_f$ de la grandeur $Y$ est donc égale à

$Y_f=Y_i+h=Y_i+\frac{x}{100}\times Y_i$

D'où, en factorisant par $Y_i$, l'expression :

$Y_f=Y_i\times (1+\frac{x}{100}).$

[wolffe3]

merci de votre aide

[Zauctore]

3. Quelques compléments qualitatifs

En conséquence de la traduction par multiplicateur des hausses ou baisses exprimées en pourcentages, on peut énoncer les faits suivants (qui surprennent parfois le néophyte) :

• une hausse de $x$% n'est jamais compensée par une baisse de $x$% et de même, une baisse de $x$% n'est jamais compensée par une hausse de $x$% (simple reformulation de la propriété 4) ;

• pour des hausses et des baisses successives exprimées en pourcentages, on n'ajoute (surtout) pas les taux : il faut multiplier les multiplicateurs (conséquence de la propriété 3) ;

• **si une même hausse de $x$% est appliquée plusieurs fois, par exemple $n$ fois, alors le multiplicateur global est égal à

$(1+\frac{x}{100}{)}^n$

et si le taux $x$% est petit, alors, une approximation du multiplicateur est donnée par $1+\frac{n\times x}{100}$, c'est-à-dire que la hausse globale est approximative ment de $n\times x$%**.

en effet, on a $(1+x{)}^n$ = 1 + n x + $x^2$ P(x), où P est un polynôme en x ; alors, avec x "petit" (ce qui signifie proche de 0), la quantité $x^2$ P(x) est négligeable devant les premiers termes 1 et (n x).

[Zauctore]

Application du dernier point ci-dessus.

On place une somme à un faible taux annuel, comme 0,5% ; au bout de combien de temps le capital aura t-il doublé ?

On augmente le capital de 0,5% la première année ; ce nouveau capital est à son tour augmenté de 0,5% la seconde année, etc.

Voici : le capital après n années, sera 1,$005^n$ fois le capital initial. Il s'agit donc de résoudre l'inéquation 1,$005^n$ ≥ 2. Ceci peut se faire par tatônnement, ou en recourant aux logarithmes.

Mais pour un calcul rapide, on utilise l'approximation estimant que le capital est à-peu-près (1+0,005n) fois la somme initiale. Il s'agit ici de résoudre l'inéquation 1+0,005n ≥ 2, c'est-à-dire 0,005n ≥ 1. Il suffit donc que n dépasse 200.

Bien entendu, ce résultat est très approximatif, puisque la résolution "exacte" conduit à n ≥ 139, mais l'ordre de grandeur est correct, non ?

[Zauctore]

4. Taux moyen

Lorsqu'une quantité $Q_0$ subit plusieurs évolutions successives quelconques en exprimées en pourcentage pour atteindre une valeur finale $Q_n$, on peut chercher quelle serait le taux constant qu'il faudrait appliquer autant de fois à la quantité initiale pour obtenir le même effet.

Plus précisément, si l'on a

$Q_0$ → $Q_1$ par une hausse de a%
$Q_1$ → $Q_2$ par une baisse de b%
...
$Q_{n-1}$ → $Q_n$ par une hausse de c%

alors on sait que

$Q_n=(1+\frac{a}{100})(1-\frac{b}{100})...(1+\frac{c}{100})Q_0$

On cherche le taux constant t%, tel que

$Q_n=(1\pm \frac{t}{100}{)}^n{Q}_0$

C'est précisément ce taux t% qui est appelé taux moyen d'évolution entre $Q_0$ et $Q_n$ : bien entendu, ce n'est certainement pas la moyenne des taux, piège classique à éviter !

[Zauctore]

Voici un exemple pour fixer les idées :

**Un capital $C_0$ = 2500€ initial, est placé pendant quatre ans, la première année à +5%, la seconde année à +8%, la 3e année à +13% et la quatrième et dernière année à +21% (taux imaginaires).

Quel est le taux moyen de ce placement ?**

Au bout des quatre années, le capital est égal à
$Q_4$ = 1,05×1,08×1,13×1,21×2500 = 3876,30€ au centime près.

Avec le taux moyen t%, on a aussi : $Q_4$ = $(1+t/100{)}^4$×2500.

Il s'agit donc de déterminer t tel que

${\left(1+\frac{t}{100}\right)}^4=\frac{3876,3}{2500}\simeq 1,55052$

Alors, avec la racine-quatrième, on a

$1+\frac{t}{100}\simeq \sqrt[4]{1,55052}\simeq 1,115885.$

d'où $t\simeq (1,115885-1)\times 100$ soit $t\simeq 11,5885$

Vérification : on a bien (1+0,$115885{)}^4$×2500 ≈ 3876,30.

Conclusion : une hausse constante de 11,55885% par an pendant quatre ans conduit à la même évolution que des hausses successives de 5%, puis 8% puis 13% et enfin 21% par an.

Remarque (un autre calcul de ce taux moyen) : la valeur du capital initial est sans importantce, le taux moyen ne dépend que des taux "intermédiaires".

On a en fait cette égalité, qui ne porte que sur les multiplicateurs

${\left(1+\frac{t}{100}\right)}^4=1,05\times 1,08\times 1,13\times 1,21=1,5505182$

donc on a

$t=(\sqrt[4]{1,5505182}-1)\times 100\simeq 11,58843$

ce qui est "sensiblement" le même résultat.

[ptit-coeur-30]

merci beaucoup j' espere que ceci m' aidera je vais essayer de refaire l'exercice. bonne fin de soirée

[rafouw]

Lors d'un DM on me pose cette question :
Un prix baisse de 10%. De quel pourcentage doit on réaugmenter ce prix pour revenir a son tarif initial.
Pouvez vous m'indiquer dans votre tutoriel de quels propriété s'agit-il? merci

[Zauctore]

Bonsoir

La propriété 3 peut te servir... sers-toi judicieusement des multiplicateurs !

[rafouw]

Zauctore
Bonsoir

La propriété 3 peut te servir... sers-toi judicieusement des multiplicateurs !

Oui merci Zauctore grâce à vous j'ai trouvé la réponse .

[wendy07]

La valeur d'un capital C a augmenté de 48% en 5ans.
Ce capital était placé à un taux de t% à intérêts composés. Calculer t.

Je n'ai pas C
0ni C
5

Je crois pas qu'il faille que je prenne une valeur au hasard.

Il me faut surement juste un petit truc pour débloquer tout, quelqu'un aurait ce petit truc?

[Thierry]

Bonjour Wendy,

Le coefficient multiplicateur sur 5 ans est donc 1+48/100.

t étant le taux moyen annuel, il faut résoudre $(1+t/100{)}^5$=1+48/100
Cela donne :
$1+\frac{t}{100}=(1+\frac{48}{100}{)}^{\frac{1}{5}}$

Il ne reste plus qu'à extraire t.