Double Réccurence
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Mmercury dernière édition par
Bonjour à tous,
Je suis totalement bloquée à cet excercice si quelqu'un peut me donner son aide, celle-ci sera la bien venue :On concidère la suite (Un)n appartient à N définie, pour tout n≥1, par :
Uo = 0, U1 = 1 et Un+1 = 7Un + 8Un-1
- Montrer que la suite(Sn)n appartient à N définie par :
Sn = Un+1 + Un est une suite géométrique.
En déduire Sn en fonction de n.
- On pose Vn = (-1) exposant n ×Un et on concidèrenla suite (Tn) ∈ N définie par
Tn = Vn+1 -Vn.
Exprimer tn en fonction de Sn.
- Exprimer Vn, puis Un, en fonction de n (on pourra calculer, de deux manières, la somme To+...Tn-1).
Déterminer lim Un/8 exposant n
n ⇒ + ∞Voilà, désolé si c'est un peu long, mais je n'y arrive vraiment pas :frowning2:
Merci d'avance
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Zauctore dernière édition par
Salut
Pour voir la relation entre S_{n+1} et S_n, on fait :
$\begin{align} s_{n+1} &= u_{n+2} + u_{n+1} \&= 7u_{n+1} + 8u_n + u_{n+1} \&= 8(u_{n+1}+u_n) \&= 8s_n. \end{align}$
La raison est 8.
Je te laisse continuer.
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Mmercury dernière édition par
Merci beaucoup !!!
Donc exprimer Sn en fonction de n c'est bien SSS_n=8n=8^n=8n ?Comme TnT_nTn = V <em>n+1<em>{n+1}<em>n+1 −V</em>n-V</em>{n }−V</em>n et
$V_{ $n}=(−1)n=(-1)^n=(−1)n ×UnU_nUnTn=(-1) n+1^{n+1}n+1 ×U n+1_{n+1}n+1 -((-1) n^{n }n×U n_nn) mais apès je ne sais pas comment simplifier s'il vous plait pouvez vous m'aider
Merci d'avance
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Zauctore dernière édition par
Tu as
tn=(−1)n+1(un+1+un)t_n = (-1)^{n+1}(u_{n+1} + u_n)tn=(−1)n+1(un+1+un)
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Mmercury dernière édition par
donc T n=(-1) n+1^{n+1}n+1 S n_nn c'est ça ?
Et pour la question 3) puvez vous m'aider une dernière fois s'il vous plait
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Zauctore dernière édition par
calculons comme le suggère l'énoncé, la somme
t0+t1+⋯+tn.t_0+t_1+\cdots+t_n.t0+t1+⋯+tn.
d'une part, cela vaut <strong>(−8)n<strong>(-8)^n<strong>(−8)n, il me semble, d'après ce qu'on a vu avant ;
d'autre part, cela vaut par définition et en éliminant les termes opposés
v1−v0+v2−v1+⋯+vn+1−vn=vn+1−v0v_1-v_0 + v_2-v_1+\cdots +v_{n+1}-v_n = v_{n+1}-v_0v1−v0+v2−v1+⋯+vn+1−vn=vn+1−v0
d'où l'expression de V_n en fonction de n...
@ toi !
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Mmercury dernière édition par
TnN1N2+.....T2+T1+T0 =(-1)[(-8 )^n+(-8 )^(n-1) + .....+(-8 )+1]
soit : (-1)[1/9(1-(-8 )^n+1)]
De plus TnN1N2+.....T2+T1+T0= (VnVn)+(Vn-Vn-1)+....(V1-V0)
Soit TnN1N2+.....T2+T1+T0= Vn+1 - V0 or V0=(-1)U0=0
Ainsi Vn+1= (-1)[1/9(1-(-8 )^n+1)]
d'où Vn=(-1)[1/9(1-(-8 )^n] .
et Un= Vn*(-1)^-n
Soit Un=-1/9*(-1)^(-n) + 1/9*(8^n)
et lim Un/8^n=lim (-1/9*(-8 )^(-n))+ 1/9
On obtient lim Un=1/9.
Est ce que c'est ça