Double Réccurence



  • Bonjour à tous, 😄
    Je suis totalement bloquée à cet excercice si quelqu'un peut me donner son aide, celle-ci sera la bien venue :

    On concidère la suite (Un)n appartient à N définie, pour tout n≥1, par :

    Uo = 0, U1 = 1 et Un+1 = 7Un + 8Un-1

    1. Montrer que la suite(Sn)n appartient à N définie par :

    Sn = Un+1 + Un est une suite géométrique.

    En déduire Sn en fonction de n.

    1. On pose Vn = (-1) exposant n ×Un et on concidèrenla suite (Tn) ∈ N définie par
      Tn = Vn+1 -Vn.

    Exprimer tn en fonction de Sn.

    1. Exprimer Vn, puis Un, en fonction de n (on pourra calculer, de deux manières, la somme To+...Tn-1).

    Déterminer lim Un/8 exposant n
    n ⇒ + ∞

    Voilà, désolé si c'est un peu long, mais je n'y arrive vraiment pas :frowning2:

    Merci d'avance 😄



  • Salut

    Pour voir la relation entre S_{n+1} et S_n, on fait :

    $\begin{align} s_{n+1} &= u_{n+2} + u_{n+1} \&= 7u_{n+1} + 8u_n + u_{n+1} \&= 8(u_{n+1}+u_n) \&= 8s_n. \end{align}$

    La raison est 8.

    Je te laisse continuer.



  • Merci beaucoup !!!
    Donc exprimer Sn en fonction de n c'est bien SS_n=8n=8^n ?

    Comme TnT_n = V <em>n+1<em>{n+1} V</em>n-V</em>{n } et
    $V_{ $n}=(1)n=(-1)^n ×UnU_n

    Tn=(-1) n+1^{n+1} ×U n+1_{n+1} -((-1) n^{n }×U n_n) mais apès je ne sais pas comment simplifier s'il vous plait pouvez vous m'aider 😕

    Merci d'avance



  • Tu as

    tn=(1)n+1(un+1+un)t_n = (-1)^{n+1}(u_{n+1} + u_n)



  • donc T n=(-1) n+1^{n+1} S n_n c'est ça ?

    Et pour la question 3) puvez vous m'aider une dernière fois s'il vous plait 😄



  • calculons comme le suggère l'énoncé, la somme

    t0+t1++tn.t_0+t_1+\cdots+t_n.

    d'une part, cela vaut <strong>(8)n<strong>(-8)^n, il me semble, d'après ce qu'on a vu avant ;

    d'autre part, cela vaut par définition et en éliminant les termes opposés

    v1v0+v2v1++vn+1vn=vn+1v0v_1-v_0 + v_2-v_1+\cdots +v_{n+1}-v_n = v_{n+1}-v_0

    d'où l'expression de V_n en fonction de n...

    @ toi !



  • TnN1N2+.....T2+T1+T0 =(-1)[(-8 )^n+(-8 )^(n-1) + .....+(-8 )+1]

    soit : (-1)[1/9(1-(-8 )^n+1)]

    De plus TnN1N2+.....T2+T1+T0= (VnVn)+(Vn-Vn-1)+....(V1-V0)

    Soit TnN1N2+.....T2+T1+T0= Vn+1 - V0 or V0=(-1)U0=0

    Ainsi Vn+1= (-1)[1/9(1-(-8 )^n+1)]

    d'où Vn=(-1)[1/9(1-(-8 )^n] .

    et Un= Vn*(-1)^-n

    Soit Un=-1/9*(-1)^(-n) + 1/9*(8^n)

    et lim Un/8^n=lim (-1/9*(-8 )^(-n))+ 1/9

    On obtient lim Un=1/9.

    Est ce que c'est ça 😕


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