Trouver les limites et asymptotes d'une fonction avec racines carrées
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Eedouard dernière édition par Hind
Bonjour, j'aimerai bien un peu d'aide pour cet exercice, parce que je n'arrive pas à le faire :
"On pose f(x)= x + √(x²+x+1) pour tout réel x.
Montrer que les droites d'équations y=2x+1/2 et y= -1/2 sont asymptotes à la courbe d'équation y=f(x)."En fait, je tombe sur une forme indéterminée de la forme 0 fois l'infini, alors j'ai songé à utiliser la forme conjuguée mais ça ne semble pas être la bonne technique pour lever l'indétermination.
Merci de votre aide.
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Zorro dernière édition par
bonjour,
Lever l'indétermination en moins l'infini est, en fait, un peu complexe ; il faut bien passer par le nombre conjugué
f(x)=x+sqrtx2+x+1=(x+sqrtx2+x+1)(x−sqrtx2+x+1)x−sqrtx2+x+1f(x) = x + sqrt{x^2+x+1} = \frac{( x + sqrt{x^2+x+1}) \quad (x - sqrt{x^2+x+1}) }{x - sqrt {x^2+x+1}}f(x)=x+sqrtx2+x+1=x−sqrtx2+x+1(x+sqrtx2+x+1)(x−sqrtx2+x+1)
f(x)=x2−(x2+x+1)x−sqrtx2+x+1=−x−1x−sqrtx2+x+1f(x) = \frac{ x^2 -(x^2+x+1)}{x - sqrt{x^2+x+1}} = \frac{-x-1}{x - sqrt{x^2+x+1}}f(x)=x−sqrtx2+x+1x2−(x2+x+1)=x−sqrtx2+x+1−x−1
puis mettre x2x^2x2 en facteur sous la racine
$f(x) = \frac{-x-1}{x - sqrt{x^2(1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2})}$
or on cherche la limite en moins l'infini donc x négatif donc
sqrtx2=∣x∣=−xsqrt{x^2} = \left| {x} \right| = -xsqrtx2=∣x∣=−x
donc $f(x) = \frac{-x-1}{x -\left| {x} \right| sqrt{(1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2})}$
$f(x) = \frac{-x-1}{x +x sqrt{(1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2})}$
or limx→−∞(1+1x+1x2)=1\lim _{x \rightarrow {-} \infty } (1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}) = 1limx→−∞(1+x1+x21)=1
donc limx→−∞f(x)=limx→−∞(−x−12x)=−12\lim _{x \rightarrow {-} \infty} f(x) = \lim _{x \rightarrow {-} \infty}\quad {(\frac{-x-1}{2x})} = \quad \frac{-1}{2}limx→−∞f(x)=limx→−∞(2x−x−1)=2−1
donc y =-1/2 est bien asymptote
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Zorro dernière édition par
pour l'autre asymptote y=2x+1/2
il faut montrer qu' en plus l'infini la limite de f(x) - (2x + 1/2) est égale à 0
à y regarder de plus près je trouve que la limite de f(x) - (2x + 1/2) est égale à -1/2
l'asymptote ne serait pas plutôt y = 2x ??
car, en plus l'infini, la limite de f(x) - 2x est égale à 0
trouvé en mettant x2x^2x2 en facteur sous la racine et ici x > 0 donc |x| = x