Démontrer une inégalité sur les suites par récurrence

Bonsoir

J'ai un petit exercice de suite et je ne comprends ou pas bien la question ou je ne sais pas comment procéder pour y répondre^^.

Alors soit $u_n$ et $v_n$ deux suites réelles avec n ∈ N.
$u_1$ =13
$u$ _{n+1} $= ((u$ _n $2v_n$ )/3) avec n≥1

et
$v_1$ =1
$v$ _{n+1} $= ((u$ _n $3v_n$ )/4) avec n≥1

On me demande des conjectures...J'y arrive...
On me demande de démontrer par récurrence que pour tout n≥1 $u_n$ ≥ $v_n$ .
J'y arrive aussi^^.

On me demande:

"En déduire que les suites $u_n$ et $v_n$ sont monotone" (avec n qui ∈ à N*,pour les 2 suites).

C'est ça que je comprends pas...
Pour moi une suite monotone c'est:
"Dire que u est monotone signifie que u est croissante ou décroissante"
Est ce queje me trompe sur ma définition et ,si je ne me trompe pas pourriez vous m'aidez?
Merci d'avance

PS:J'ai compris que $u$ _n $v_n$ ≥0...Mais je ne vois pas en quoi que l'une soit croissante ou décroissante ou non monotone change quelque chose à l'égalité ci dessous...Tant que u est supérieur à v elle peut faire des vagues ,non(courbe en forme de vague)?

on part de $_{n} \geq v_n$ donc en multipliant par 2

$_{n} \geq 2v_n$

on ajoute $u _{n}$ aux 2 termes de cette inéquation

$_{n} \geq {2v_n + u _{n}}$ on divise par 3

$3un3≥2vn+un3\frac{3u _{n}}{3} \geq {\frac{2v_n + u _{n}}{3}}$

et là on reconnait $_{n} \geq {\frac{2v_n + u _{n}}{3}}$ soit

$_{n} \geq {u _{n+1}}$

donc u est décroissante.

tu essayes d'utiliser la même méthode pour v en partant de $_{n} \leq u_n$

Merci.
Mon exo étant en fait un devoir,je ferais peut être encore appel à vous sur ce message(pour pas flooder).
J'ai réussit $v_n$ ≤ $u_n$ parce qu'on m'a mis sur la voix^^.

J'ai du mal à comprendre comment on pourrait répondre à un questionnement selon que ce soit un exo ou un devoir !!!

Si tu poses une question c'est que tu as une interrogation sur la façon de résoudre le problème !!! que ce soit pour un exo ou pour un devoir !!!

Notre réponse ne changera pas ....

Tu nous disais que tu avais réussi à montrer que $u_n$ >= $v_n$ donc je me sers de cette info pour ma démonstration (comme le sujet le suggère puisqu'il est dit "" en déduire que les suites sont monotones "")

As-tu réussi à montrer que la suite V était croissante ou décroissante ?

Je crois que j'ai du mal m'exprimer...Enfin y a eu une incompréhension.
Par votre raisonnement je trouve que v est croissante.
Ensuite on me demande de faire le raisonnement à l'aide de Suite auxiliaires.
Je note w même chose que $w_n$ pour simplifier,aussi t même chose que $t_n$ ,v même chose que $v_n$ et u même chose que $u_n$ .
On pose w=v-u
Je demontre que la suite est géométrique,on me demande son expression en fonction de n qui est w=-12× $1/12^{^n}$ )
On pose t=3×u+8×v
Je demontre que la suite est constante en montrant que $t$ {n+1} $t_n$ (j'ai quand même besoin des indices...)
Dois je utiliser pour montrer que la suite est constante un raisonnement par récurrence ou démontrer que $t</em>{n+1}$ =3×u+8×v suffit amplement?
Je calcule t constante qui est égal à 47.

On me demande alors "en déduire les expressions $u_n$ et $v_n$ en fonction de n,puis préciser la limite des suites $u_n$ ) et $v_n$ )".
Je fais une sorte de système:
3u+8v=47
v-u=-12× $1/12^n$ )

Je résouds et je trouve $v_n$ =(-36× $1/12^n$ )+47)/11
et
$u_n$ =(47+96× $1/12^n$ ))/11.

Mais voilà,au début de l'exercice j'avais calculé $u_{1,2,3,4}$ et $v_{1,2,3,4}$ et mes suites sont bonne sauf que $u_1$ =5 d'après ma suite or il est égal à 13 dans l'énoncé.Donc $u$ _1 $u_2$ (d'après ce que j'ai trouvé...)
La suite est bonne (au niveau de l'évolution des valeurs) mais elle est décalée vers "l'arrière"...
De même pour $v_n$ ...
Ou est ma faute?

Merci d'avance

Je comprends, maintenant, tu voulais nous prévenir que ce n'était que le début d'un exercice plus long. Oublie ma réaction. Je regarde ce que tu as fait et je reviens.

Cela vient de ton expression de $w_n$ en fonction de n

si $w_n$ est une suite géométrique de raison q

$wn=w0qnw_{n} = w_{0} \quad q^n$ ou $wn=w1qn−1w_{n} = w_{1} \quad q^{n-1}$

si tu montres que pour tout n > 1, on a $t_{n+1}$ = $t_n$ pas besoin de passer par un récurrence.

Tes calculs de $u_n$ et $v_n$ seraient justes si tu avais la bonne expression de $w_n$

Effectivement,je me suis légèrement trompé quant à l'expression de $w_n$ ...
Donc je trouve la vraie bonne réponse: $w_n$ =-12× $1/12^{n-1}$ )
Je remplace l'ancien $w_n$ par celui trouvé ci dessus et en vérifiant je trouve la bonne réponse...
Merci