sur les carrés magique et les sommes de carrés



  • bonjour j'ai un devoir maison a rendre pour le samedi 30 septembre c'est un devoir de seconde voici le sujet:
    "exercice 1
    Dresser une table des carrés des entiers naturels de 1 à 17 sur deux lignes: n-n².Sur la troisieme ligne, faites figurer la somme des cumuls progressifs des carrés. Décomposer en produit de facteurs premiers chacun des nombres de la 3éme ligne. Utiliser ces décompositions pour comprendre quels liens logiques il peut y avoir entre la première ligne et la troisième ligne chacun de ces liens sera très clairement mis en evidence en s'appuyant sur la répétition des exemples qui les confirme.
    Peut-on en deduire une formule donnant la somme cumulée des carrés n premiers entiers naturels?

    exercice 2
    on decide de nommer "demi" tout nombre decimal pour lequel la partie décimale se limite à un seul chiffre le 5. Dresser une table des 15 premiers "demis" et de leurs carrés. Après une grande observation de la forme des carrés des "demis", donner une phrase en français qui caractérise leur écriture.
    Développer l'éxpression (n+1/2)². Voir en quoi cette écriture propose en fait la formule donnant le carré d'un "demi"

    exercice 3
    Déterminer tous les diviseurs de 100. Placer tous ces nombres dans un carré de 3x3, de sorte que les produits sur chacune des lignes,sur chacune des colonnes et chacune des diagonales soit le même.
    On cherchera à expliquer la stratégie et les règles qui régissent ce carré.

    exercice 4
    on considère le nombre A=(1+10^(-20))-1/10^-20

    calculer A à l'aide de la calculatrice non graphique; le resultat est-il exact? pourquoi? calculer la valeur exacte de A
    MERCI POUR VOTRE AIDE



  • bonjour math93

    ton sujet comporte des exercices intéressants et originaux

    qu'as-tu fait, où bloques-tu ?

    on attend que tu complètes un peu ce message en suivant les recommandations que tu as lues en créant cette nouvelle discussion :

    • N'utilise pas d'écriture SMS, même si tu n'es pas un champion de l'orthographe.

    • Un seul exercice par discussion, c'est plus clair.

    • Ne recopie pas ton exercice sans aucune autre explication. Indique ce que tu as essayé de faire et ce que tu comprends mal.

    • Sauf exceptions, les scans de document ne sont pas autorisés dans le forum.

    • Le multipostage et le manque de politesse sont éliminatoires. Commence par dire "bonjour", c'est le minimum !



  • Bonjour Zauctore

    merci de l'attention que tu porte sur mon exercice

    Dans le premier exercice j'ai commencer par faire ce qui était demander et j'ai mis au carré tout les nombre dans la 2 ème ligne et puis dans la troisième ligne j'ai écrit la somme cumulé c'est à dire pour 17 je l'ai mis au carré ce qui donne 289 puis dans la troisième ligne j'ai mis 289 au carré ce qui ma donné 83521 vu le nombre élevé je me demande si je n'ai pas fait une erreur. Je ne peux donc plus continuer

    sinon pour information j'ai très bien écrit bonjour au debut.



  • Le tableau des carrés demandés :

    http://up.mezimages.com/up/09/1184396Capture01.jpg

    Les cumuls progressifs (et pas les carrés des carrés) et leurs décompositions sont respectivement :

    pour n = 1 : 1,

    pour n = 2 : 5,

    pour n = 3 : 14 = 2×7,

    pour n = 4 : 30 = 5×6,

    pour n = 5 : 55 = 5×11,

    pour n = 6 : 91 = 7×13,

    pour n = 7 : 140 = 222^2×5×7,

    pour n = 8 : 204 = 222^2×3×17,

    pour n = 9 : 285 = 3×5×19,

    pour n = 10 : 385 = 5×7×11,

    pour n = 11 : 506 = 2×11×23,

    pour n=12 : 650 = 2×525^2×13,

    pour n = 13 : 819 = 323^2×7×13,

    pour n = 14 : 1015 = 5×7×29,

    pour n = 15 : 1240 = 232^3×5×31,

    pour n = 16 : 1496 = 232^3×11×17,

    pour n = 17 : 1785 = 3×5×7×17.

    Il s'agit d'établir une conjecture sur le lien entre n et le cumul 1²+2²+...+n² à partir de ces valeurs...

    C'est un travail de "recherche", qui est tout sauf évident en Seconde ; ça vaut le coup de se pencher dessus !



  • merci pour ton aide je vais tenté de faire la suite 😁



  • as-tu fait quelques observations ?



  • si je ne me trompe pas il faut diviser par deux les nombre de 1 à 15 et ensuite les mettre au carré se qui donne
    1→0.5²→0.25
    2→1²→1
    3→1.5→2.25
    4→2→4
    5→2.5→6.25
    6→3→9
    7→3.5→12.25
    8→4→16
    9→4.5→20.25
    10→5→25
    11→5.5→30.25
    12→6→36
    13→6.5→42.25
    14→7→49
    15→7.5→56.25



  • ah bon... je ne vois pas le lien avec les résultats obtenus en cumulant les carrés.



  • ah je me suis tromper je suis directement passer à l'execrice 2



  • désoler je n'arrive pas à trouver la formule pour le resultats obtenus en cumulant les carrés



  • s'il vous plait je n'arrive pas à trouver un lien logique et le sevoir et pour mardi je voudrai un peu d'aide



  • Par exemple, pour commencer, tu peux remarquer que dans certaines sommes de carrés (certains cumuls), on retrouve le nombre au carré duquel on a arrêté la somme ; plus clairement, pour n=11, on trouve 11 dans la décomposition. Ceci semble ne pas se produire toujours, mais souvent. Dans quels cas ? comment faire apparaître le nombre toujours ?

    Creuse cela.

    PS : Je ne te donnerai pas la réponse "toute cuite" : je trouve cet exercice de recherche vraiment très intéressant, présenté de cette façon.



  • merci j'y vois un peu plus clair maintenant



  • cela se produit dans le cas des nombre premier. Dis moi si j'ai faux



  • Oui, c'est déjà une observation. Sauf pour 2 et 3, apparemment. Tiens, ce n'est pas anodin, ça : comment on peut les faire disparaître tous les deux ?

    @+ réfléchis, je reviens demain pour la fin.



  • daccor merci pour tout



  • malgrés toute mes tentative je trouve pas la formule je bloque entierement sur ce côté là



  • si j'additione 2 et 3 avec leur cumuls progressif j'obtiens 24 et sa décompôsition devient 2^3x3
    est ce que c'est bon??



  • Zauctore

    pour n = 7 : 140 = 252^5×5×7,

    Bonjour,
    juste histoire qu'il se trompe pas, il a une petite faute , 252^5×5×7=1 120 et pas 140, petite erreur qui a son importance. Le prend pas mal Zauctore, l'erreur est humaine 😉

    Ok, c'est rectifié : ce n'était qu'un pb d'exposant, N.d.Z.

    Par contre, j'arrive vraiment pas la question du 1 :
    Exercice 1
    Peut-on déduire un formule donnant la somme cumulée des carrées des n premiers entiers naturels ?

    D'après moi, la somme cumulée des carrées des n premiers entiers naturels donne 59 en tout (1+2+3+5+7+11+13+17). Mais donner un formule à partir de ça, c'est pas simple !



  • oui c'est 2²x5x7=140



  • 1 n'est pas un nombre entier



  • math93
    1 n'est pas un nombre entier
    Hein ??? Pas un nombre 1er tu veux dire.
    Mais toutes façons c'est faux, le truc ça fait 2 724 parce que faut additionné les carrés cumulés.



  • à oui je me suis trompé un nombre premier :razz:



  • Pistes : lorsque n est premier, alors n apparaît dans la décomposition du cumul des carrés ; lorsque n+1 est premier, que se passe t-il ?
    Et comment régler le pb de 2 et 3 ?



  • c'est bon c'est fini je l'ai rendu ce matin j'ai tout reussi sauf la formule du 1



  • D'autant que tu sembles peu avoir compris de quel cumul il retournait : cet exercice est peut-être trop dur pour des "seconde" ?

    En fait ce qu'on a dit plus avant aurait pu inciter à dire que la formule doit contenir les facteurs n et n+1, ainsi qu'une division par 6. Mais ce n'est pas suffisant : un autre facteur intervient, lorsqu'on regarde par exemple les facteurs 11 et 13 dans les cumuls pour 5 et 6...



  • Dans les cumul pour 5 si on rajoute 6 on a 11 et pour le cumul 6 si on rajoute 5 on a aussi 11
    la formule pourrait elle être n+n=n premier?



  • J'ai dit "facteur" : c'est multiplicatif.

    Pour pas s'éterniser, la formule est

    1+4+9+16++n2=n(n+1)(2n+1)61+4+9+16+\cdots+n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}

    par exemple, pour n=17 on a 17×18×35/6 = 1785, comme attendu.



  • Ah d'accord j'aurais jamais pu trouver
    :rolling_eyes:



  • peut-être que si... les facteurs n ou n+1 apparaissent lorsque n ou n+1 sont premiers

    la division par 6 permet de faire disparaître ces facteurs lorsquer n=2 ou n=3

    et après, avec n=17, on voit le facteur 35=2×17+1...

    @+


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