Exercice sur Suite ! (série des inverses)

Bonsoir !
Voila , un petit exercice que je n'arrive pas a resoudre .

données:
$u_{n}=$ ∑$${p=1}$^n$ 1/p
$w{n}=$ ∑$$_{p=n+1}$^{2n}$ 1/p

Demontrer que , pour tout entier naturel non nul n , Wn ≥ 1/2 .

--> donc , j'utilise la reccurecne , et je trouve : $W_{n+1}$ = Wn + 1/[2(n+1)(2n+1)] , et comme n≥1 , alors $W_{n+1}$ ≥ 1/2 , puis je conclus .

Etablir , pour tout entier naturel non nul m , l'egalité $U_{2m+1}$ - $U_{2m}$ = $W_{2m}$

Je m'embrouille avec pleins de calcules qui sont faux...

En deduire que (Un) n'est pas majorée .
Conclure sur la convergence du (Un)

Voila merci beaucoup si vous pouvez bien m'aider !
A+

Salut!

Exercice sur les suites... hum, c'est plutôt des séries! ...enfin bref!

Bon, le 1er, par récurrence, tu dois t'en sortir (dis quand même si t'as des soucis)

Pour le 2 :

$U_{2n+1}$ = ∑$${p=(2n+1)+1}$^{2(2n+1)}$ (1/p)
soit $U{2n+1}$ = ∑ $${p=2n+2}$^{4n+2}$ (1/p)
Pour $U{2n}$ tu fais pareil!

Ensuite, pour faire la différence, il faudra que tu fasses un "changement d'indice"! Est-ce que tu sais comment faire?

%%%
Prenons un exemple simple : (autre que le tien )
Posons $U_n$ = ∑ $${k=0}$^n$ k
alors $U{n+1}$ = ∑ $$_{k=0}$^{n+1}$ k

Si on fait $U_{n+1}$ - $U_n$ = ∑ $${k=0}$^{n+1}$ k - ∑ $${k=0}$^n$ k
La fonction se trouvant sous les 2 signes "∑", tu peux faire un changement d'indice :
ie tu peux écrire :
$U_{n+1}$ = ∑ $${k=0}$^{n+1}$ k = 1 + 2+ ... + n + (n+1) = ∑ $${k=0}$^n$ k + (n+1)

Vois-tu comment j'ai obtenu cela? comme c'est une somme, je peux sortir des éléments du signe ∑ pour les rajouter ensuite! [ tu peux aussi rajouter un terme pour le retrancher ensuite! Style : $U_{n+1}$ = ∑ $${k=0}$^{n+1}$ k = 1 + 2+ ... + n + (n+1) = ∑ $${k=0}$^{n+2}$ k - (n+2) ]

De là, mon exemple est ensuite tout bête :
$U_{n+1}$ - $U_n$ = ∑ $${k=1}$^n$ k + (n+1) - ∑ $${k=1}$^n$ k

Oh et comme par hasard les 2 "∑" se compensent et il ne reste plus que :
$U_{n+1}$ - $U_n$ = (n+1)

Ensuite tu peux exploiter ce résultat : tu étudies la limite quand n -> +∞ , ça tend toujours vers +∞ donc $U_{n+1}$ > $U_n$ donc elle est croissante!
... enfin, voilà! Tu vois comment il faut faire?
%%%

Revenons à ton exercice :

le 3 : $U_n$ ) n'est pas majorée (c'est à dire qu'elle est toujours inférieure à une certaine valeur) : le mieux serait que tu encadres $U_n$ (si tu n'y arrives pas, moi ou quelqu'un d'autre t'aidera), et en étudiant la limite des fonctions qui encadrent $U_n$ , tu devrais trouver ±∞.
Là : d'après le théorème d'encadrement (plus connu sous le nom de théorème des gendarmes!!! ), tu pourras conclure que lim $_{n -> +∞}$ $U_n$ = ±∞ donc $U_n$ ) n'est pas majorée, et on peut même dire qu'elle diverge!!! (ah ben.... c'est ta question4 !)

Voilà!
J'espère que je ne t'ai pas trop perturbé avec mes explications longues et pas toujours claires :rolling_eyes: ! Si tu as un problème, n'hésites surtout pas à revenir... j'essayerai d'être plus claire!

Bisous Bisous!!! :razz:

Le 1 j'ai deja repondu .
Alors , pour le 2. c'est m et non n , mais sa importe peu la

Sinon , je sais quand meme faire , mais c'est au niveau de l'egalité de Um avec Wm que je ne comprenais pas :

$U_{2(m+1)}$ - $U_{2m}$ = $∑p=12m+21/p−∑p=12m1/p=∑p=12m1/p−∑p=12m1/p+1(2m+1)+1(2m+2)=2m+2(2m+1)(2m+2)+2m+1(2m+2)(2m+1)=4m+34m2+6m+2\displaystyle \sum_{p=1}^{2m+2} 1/p- \displaystyle \sum_{p=1}^{2m} 1/p= \sum_{p=1}^{2m} 1/p - \sum_{p=1}^{2m} 1/p + \frac{1}{(2m+1)}+\frac{1}{(2m+2)}= \frac{2m+2}{(2m+1)(2m+2)}+\frac{2m+1}{(2m+2)(2m+1)}=\frac{4m+3}{4m^2+6m+2}$

Et :

$W_{2m}$ = $∑p=2m+14m1/p=12m+1+12m+2+...+14m\displaystyle \sum_{p=2m+1}^{4m} 1/p = \frac{1}{2m+1}+\frac{1}{2m+2}+...+\frac{1}{4m}$

Voila et la je ne vois pas comment $W_{2m}$ = $U_{2m+1}$ - $U_{2m}$ ! Car pour W2m ya deja $\frac{1}{2m+1}+\frac{1}{2m+2}+..$

Voila, pour ensuite peut etre faire la suite !

merci a+

svp aidez moi !! je voudrais comprendre avoir le controle !
merci beaucoup

Salut. Il y a un problème.

D'une part :

$;u_{2m+1} - u_{2m} = \sum_{p=1}^{2m+1} \frac1p - \sum_{p=1}^{2m} \frac1p = \frac1{2m+1} \ ;$

D'autre part :

$w2m=∑p=2m+14m1pw_{2m} = \sum_{p=2m+1}^{4m} \frac1p$

Ces deux quantités ont peu de chance d'être égales ... erreur d'énoncé ?

Par contre, on a

$u_{2m} - u_m = w_{m}$

puisque $u2m−um=∑p=12m1p−∑p=1m1p=12m+⋯+1m+2+1m+1.u_{2m} - u_{m} = \sum_{p=1}^{2m} \frac1p - \sum_{p=1}^{m} \frac1p = \frac1{2m} + \cdots +\frac1{m+2} + \frac1{m+1}.$

oui erreur denoncé , c'est bon ! c'etait en puissance les m : 2^m .. !
merci beaucoup !

En puissance ?

Tu veux dire comme ça : $u_{2^{m+1}} - u_{2^m}$ et $w_{2^m}$ ?

voila !
Et donc , je doit avoir une erreur de calcule car le resultat est encore faux ..

$\displaystyle \sum_{p=1}^{n} 1/p$

$\displaystyle \sum_{p=n+1}^{2n} 1/p$

Donc pour $U_{2m}$ :
Ma question est : est-ce que le $n=^m$ , ou le $n=2^m$ ?

Pour $n=^m$ :

$un=∑p=1m1/pu_{n} = \displaystyle \sum_{p=1}^{m} 1/p$

$un+1=∑p=1m+11/pu_{n+1} = \displaystyle \sum_{p=1}^{m+1} 1/p$

$\displaystyle \sum_{p=m+1}^{2m} 1/p$

ou pour $n=2^m$ :

$un=∑p=12m1/pu_{n} = \displaystyle \sum_{p=1}^{2^m} 1/p$

$un+1=∑p=12m+11/pu_{n+1} = \displaystyle \sum_{p=1}^{2^{m+1}} 1/p$

$wn=∑p=2m+12∗2m1/pw_{n} = \displaystyle \sum_{p=2^m + 1}^{2*2^m} 1/p$

Alors , si $n=2^m$ :

$u_{n+1} - u_{n} =\displaystyle \sum_{p=1}^{2^{m}+1} 1/p - \displaystyle \sum_{p=1}^{2^m} 1/p =\frac {1}{2^{m} + 1$

Et $wn=∑p=2m+12∗2m1/p=12m+1+12m+2+...+12m+1w_{n} = \displaystyle \sum_{p=2^m + 1}^{2*2^m} 1/p = \frac {1}{2^m + 1 } + \frac {1}{2^m + 2 } + ... + \frac {1}{2^{m+1} }$

Donc Wn≠ $U_{n+1}$ - $U_n$ , pour n = $2^m$

Maintenant pour $n=^m$ :

$un+1−un=∑p=1m+11/p−∑p=1m1/p=1m+1u_{n+1} - u_{n} =\displaystyle \sum_{p=1}^{m+1} 1/p - \displaystyle \sum_{p=1}^{m} 1/p =\frac {1}{m+1}$

Et $wn=∑p=m+122m1/p=1m+1+1m+2+...+122mw_{n} = \displaystyle \sum_{p=m+1}^{2^{2m}} 1/p = \frac {1}{m + 1 } + \frac {1}{m + 2 } + ... + \frac {1}{2^{2m} }$

Donc Wn≠ $U_{n+1}$ - $U_n$ , pour n $^m$

Donc , ou est l'erreur ?

Merci !
a+

L'erreur est dans ceci, pour $n=2^{m+1}$ , tu as : $u2m+1=∑p=12m+11/pu_{2^{m+1}} = \sum_{p=1}^{2^{m+1}}1/p$ qui est différent de $∑p=12m+11/p\sum_{p=1}^{2^{m}+1} 1/p$ .

Félicitations pour tes efforts de LaTeX !

Remarque: le code pour l'expression de $u_{2^{m+1}}$ est
U_{2^{m+1}} = \sum_{p=1}^{2^{m+1}} 1/p.

donc :

$\displaystyle \sum_{p=n+1}^{2n} 1/p$ d'accord ?

Donc $w2m=∑p=(2m)+12∗2m1/pw_{2^m} = \displaystyle \sum_{p=(2^m) +1}^{2*2^m} 1/p$
Donc $w2m=1(2m)+1+1(2m)+2+..+12m+1w_{2^m} = \frac {1}{(2^m) + 1 } + \frac {1}{(2^m) + 2 } +..+ \frac {1}{2^{m+1}}$

Et U(n+1)-Un = $\frac {1}{2^{m+1}$

Donc c'est bien different entre $U2^{m+1}$ - $U2^m$ et $W2^m$

Voila ?

Merci a toi en tout cas de bien vouloir m'aider !

c'est bon je connais mon erreur ! c'est sur Un+1 !

$w2m=1(2m)+1+1(2m)+2+..+12m+1w_{2^m} = \frac {1}{(2^m) + 1 } + \frac {1}{(2^m) + 2 } +..+ \frac {1}{2^{m+1}}$

Et $U ($ {2m+1} $U{2m}$ = $12m+1+12m+2+..+12m+1\frac {1}{2^m +1 } + \frac {1}{2^m +2} + .. + \frac {1}{2^{m+1} }$

Voila , donc $W_{2m}$ = $U_{U(+1)}$ - Un .

Donc , apres avoir fais cela , en deduire :
b. Deduire que :

$w2m+1=1+∑k=1mw2kw_{2^{m+1} }= 1 + \displaystyle \sum_{k=1}^{m} w_{2^k}$

Donc :

$w2k=∑p=2k+12k+1=12k+1+12k+2+..+12k+1w_{2^k}= \displaystyle \sum_{p=2^k +1}^{2^{k+1}} = \frac {1}{2^k +1} + \frac {1}{2^k +2} + .. + \frac {1}{2^{k+1}}$

Donc :

$∑k=1mw2k=(121+1+121+2+..+121+1)+(122+1+122+2+..+122+1)+(123+1+123+2+..+123+1)+..+(12m+1+12m+2+..+12m+1)\displaystyle \sum_{k=1}^{m} w_{2^k}= ( \frac {1}{2^1+1} + \frac {1}{2^1+2} + .. + \frac {1}{2^{1+1}}) + ( \frac {1}{2^2+1} + \frac {1}{2^2+2} + .. + \frac {1}{2^{2+1}}) + ( \frac {1}{2^3+1} + \frac {1}{2^3+2} + .. + \frac {1}{2^{3+1}}) + .. + (\frac {1}{2^m+1} + \frac {1}{2^m+2} + .. + \frac {1}{2^{m+1}})$

$\frac {1}{3} + \frac {1}{4}) + ( \frac {1}{5} + \frac {1}{6} + \frac {1}{7} + \frac {1}{8})+ (\frac {1}{9} + \frac {1}{10}) + ( \frac {1}{11} + \frac {1}{12} + ... + \frac {1}{16} ) + (\frac {1}{2^m+1} + \frac {1}{2^m+2} + .. + \frac {1}{2^{m+1}}) = \frac {1}{3} + \frac {1}{4} + \frac {1}{5} +... + \frac {1}{2^{m+1}})$

Donc :
$\displaystyle \sum_{k=1}^{m} w_{2^k} = 1 + \frac {1}{3} + \frac {1}{4} + \frac {1}{5} +... + \frac {1}{2^{m+1}}$

Et $u2m+1=1+12+13+14+15+...+12m+1u_{2^{m+1}} = 1 + \frac {1}{2} + \frac {1}{3} + \frac {1}{4} + \frac {1}{5} +... + \frac {1}{2^{m+1}}$

Donc , je remarque qu'il manque un '1/2' , dans $\displaystyle \sum_{k=1}^{m} w_{2^k}$ , ou est mon erreur ? ! je ne la voi pas .

Merci beaucoup !

ps : le plus dure dans l'exercice , c'est de l'ecrire avec Latex

cela doit etre une erreur d'enoncer !

Toi t'es du genre à aimer le labeur... quel effort de code ! sans compter les calculs.

Sers-toi plutôt de $w_{2^k} = u_{2^{k+1} - u_{2^k}$ pour alléger les calculs, car alors la somme entre 1 et m des $w_{2^k}$ soit sacrément s'arranger par "télescopage".

Le problème du 1/2 vient de ce que ta série des $w_{2^k}$ a ses indices entre 1 et m ; s'ils étaient entre 0 et m, ça irait mieux...

c'est sans doute une erreur d'énoncé (et pas d'énoncer).

@+

oki , merci , oui il faudrait que ça commence pour k=0 , pour avoir ce 1/2 !
désolée pour l'orthographe .

a+ merci pour tout !