Aire, suite et inégalité



  • Bonsoir
    J'ai quelques difficultés sur un exercice...
    Soit f la fontion définie sur ]0;+∞[ par f(x)=1/(√x)
    On me demande le sens de variation...compoé de fontion...Décroissante sur ]0;+∞[
    On cherche a estimer l'aire entre la courbe et l'axe des abcisses.Je place des points sur la coube de 1 à 9 et grâce à ces points je trace des petits rectangle(avec leur coté perpendiculaire à l'axe des abcisses et parallèle à l'axe des ordonnées partant des points posé sur la courbe,et,des cotés parallèle à l'axe des abcisses reliant le point n+1 par un projeté orthogonal sur la droite issu de mon point M à l'emplacement n parallèl à l'axe des ordonnées...).C'est as très clair j'en suis dsl mais je sais pas faire de figure...
    ça donne en escalier qui descend quand on part de m'axe des ordonnées...
    Ces rectangles r on pour aire en général:
    A rkr_k=f(k+1)

    On me donne unu_n=(1/√2)+(1/√3)+...+(1/√n) pour n≥2
    On me demande d'interpréter graphiquement, je dis que unu_n représente l'aire appoximative entre la courbe et l'axe des abcisses.Est ce bien ça que l'énoncé attend?
    On me demande de montrer que:
    √(k+1)-√(k)=1/(√(k+1)-√(k)) avec k≥1
    J'y arrive...
    On me demande d'en déduire que (1/√(k+1))≤2×(√(k+1)-√(k))≤(1/√(k)) avec k≥1
    J' y arrive aussi...
    On me demande d'en déuire que pour tout n≥2
    2×(√(n+1)-√(2))≤unu_n≤2×(√(n)-1)
    La je bloque...Une petite piste ?

    Merci d'avance



  • salut

    pour 2. pense à écrire explicitement les encadrements obtenus avec
    (1/√(k+1))≤2×(√(k+1)-√(k))≤(1/√(k))
    lorsque tu fais successivement k=1, k=2, etc. jusque k=n.
    en les ajoutant membre-à-membre, tu vas reconstituer le terme u_n (ou à peu-près) aux "extrémités, si je peux dire...

    @ toi



  • En additionnant menbres à menbres j'obtiens quelquechose qui ne me plaît pas...Je fais apparaître par ... les k=3 jusqu'à k=n-1 mais si je fais pas apparaître k=n-1 je ne peux pas parler de unu_n...
    Bon j'obtiens:
    ((1/√2)+(1/√3)+...+(1/√(n+1)))≤(2√2-2+2√3-2√2+...+2√(n+1)-2√n)≤(1+(1/√2)+...+(1/√n))
    Mais je ne peux pas factoriser le menbre du milieu et mon menbre de droite n'a aucun rapport apparent avec ce que je voudrais.
    En fait je vois mal la liaison entre ce que je viens d'écrire et 2(√(n+1)-√2)≤unu_n≤2((√n)+1) qui est l'égalité que je dois prouver d'après les questions précédentes...
    Merci d'avance



  • PS:J'ai considéré que k≥1 comme indiqué dans l'exo,mais si je commence par k≥2 il me semble que c'est plus jolie,mais comment dire que tel expression s'annule si je met des ...(expression du milieu),celle de droite deviendrai alors unu_n(enfin je crois)



  • Je me permet de me "up".


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