Démontrer une inégalité sur les suites à l'aide d'une fonction

bonjour et merci de lire ce message !

voilà j'ai des problèmes avec mon devoir maison, j'y ai passe tout mon temps depuis vendredi soir mais rien àfaire je suis coincée...Voilà le sujet :

On définit la suite (Un) par la relation de récurrence U(n+1)= 1/(2+Un) et Uo=1 et la fontion f définie par f( x ) = 1/(2+x)
On pose α =-1+√( 2)

J'ai montré que f(α)=α et que la suite est à termes positifs.Il faut maintenant que je montre que ∀entier naturel n :
|U(n+1) - α| ≤ 1/4 |Un - α|

et je n'y arrive pas !
Merci d'avance, qu'il y est une réponse ou non....

Avec U(n+1)= 1/(2+Un) et α =-1+√2

|U(n+1) - α| = | 1/(2+Un) -f (α ) |

= | 1/(2+Un) - 1/(2+α ) |

= | (α - Un)/[(2+Un)(2+α )] |

or 2+Un ≥ 2 (non ?) et 2+α ≥ 2 ,

donc | (α - Un)/[(2+Un)(2+α )] | ≤ |(α - Un)| / (2×2).

désolé,
je ne comprend pas vraiment la conclusion

vous montrez quen|U(n+1) - α | ≤ |(α - Un)/ (2x2)|
mais il faut montrer que |U(n+1) - α | ≤ 1/4 |Un - α|

je peus rentrer (1/4) dans la valeur absolue ? mais est ce que je peux également inverser les signes de Un - α ?

merci

excusez moi j'avais mal lu pour ma dernière question...

je te laissais la conclusion, justement...