Triplets de Pythagore

Bonjour voilà j'ai un exercice de spécialité et j'ai du mal à démarrer les 2 premières questions qui m'empechent de faire la suite alors si vous pouvez m'aider ca serait super merci d'avance ;

Démontrer qu'un nombre pair non nul et non multiple de 4 ne peut pas etre un carré. En déduire que la somme des carrés de 2 nombres impairs ne peut pas etre un carré.
Soient a,b et c trois entiers naturels non nuls tels que $c^2$ = ab et pgcd (a,b) =1.
Démontrer que a et b sont des carrés.

Voilà le début. Alors pour la question 1) , je sais qu'un nombre pair non nul peut s'écrire sous la forme n= 2k avec k appartenant à $mathbb{Z}$ *
et si en plus d'etre pair et non nul, il est non multiple de 4 , il s'écrit n = 4k + 2 avec k appartenant à $mathbb{Z}$ *

Je ne suis pas sure de ca à la base mais même si ca l'est je n'arrive pas à aller plus loin.

Merci à tous ceux qui pourront m'aider.

Salut

Pour la 1), être non multiple de 4 se traduit par le fait d'être de la forme 4k+1, ou 4k+2 ou 4k+3 ; être multiple de 2 impose donc d'être de la forme 4k+2, ce que tu avais parfaitement vu.

Maintenant, l'énoncé demande de montrer qu'un tel nombre ne peut pas être de la forme m².

Supposons le contraire ; on aurait alors 4k+2 = m².

Pourquoi une telle égalité est-elle impossible ? distingue par exemple le cas où m est pair et celui où m est impair.

Pour le cas où m est impair on a $m^2$ est aussi impair
Or 4k+2 est pair donc la relation $4k+2=m^2$ est impossible.

Pour m est pair on a $m^2$ qui est aussi pair.
Donc normalement on se retrouve avec m = $s q r t (4 k + 2)$ ou m = - $s q r t (4 k + 2)$ .

Mais je ne vois pas où cela mène.

Je dirais ceci : si m est pair, alors il s'écrit 2q. Donc on aurait 4q² = 4k+2.

Pourquoi ceci n'est-il pas possible ?

$4q^2$ = 4k+2 équivaut à $q^2$ = k+2 or k+2 n'est pas un carré donc $4q^2$ = 4k+2 est impossible.

Est ce ca ?

Bbygirl
4q^2$ = 4k+2 équivaut à $q^2$ = k+2

mais quelle horreur... est-ce ainsi que tu simplifies par 4 ?

rolala il faut que j'aille me coucher si je simplifies par 4 aussi médicorement excuse moi
4q2 = 4k+2 équivaut à q2 = k+ 1/2

Mais une fois que tu trouves ca tu conclus quoi ? moi je ne vois pas

J'aurais plutôt dit ceci : 2 = 4(q² - k).

Est-ce que ça te semble possible ? Oui-non, pourquoi ?

bah je ne vois pas pourquoi ca ne serait pas possible. je vois vraiment pas là

Est-ce que 2 est divisible par 4 ?

oui c'est ce que je viens de trouver en réfléchissant un peu. ca me tue quand je ne trouve pas des choses évidentes comme ca.

Merci beaucoup beaucoup beaucoup

Fin de la question 1

Deux nombres impairs : 2n+1 et 2m+1 ; la somme de leurs carrés est (après calculs...) de la forme 4k+2 : d'après ce qu'on s'est dit avant, ce ne peut être un carré.

Citation
2) Soient a, b et c trois entiers naturels non nuls tels que c² = ab et pgcd (a,b) =1. Démontrer que a et b sont des carrés.
Utilisons peut-être la décomposition en produit de puissances de facteurs premiers de a et b, non ?

euh comment on décompose en produit de puissances de facteurs premiers a et b sans savoir ce que c'est ?
je sais juste que pgcd (a,b)=1 équivaut à au+bv =1 avec u et v appartenant à Z

Non ; tu sais plutôt que pgcd(a , b) = 1 signifie : a et b n'ont aucun facteur premier en commun.

Supposons maintenant que p soit un facteur premier de c² ; alors je dis que p intervient à une puissance paire, disons $p^{2k}$ , dans la décomposition de c².
Du fait que a et b n'ont pas de facteur premier en commun, c'est soit a soit b qui contient le facteur $p^{2k}$ tout entier.

Maintenant, si q est un facteur premier de a, par exemple, alors q ne peut être un facteur premier de b, n'est-ce pas...

Mais donc, c'est un facteur premier de c², donc il intervient à une puissance paire.

Ceci démontre donc qu'au final, les facteurs premiers de a ont tous un exposant pair ; ce qui fait de a un carré.

Même chose pour b.

Oula j'ai pas vu ca moi. ca commence à devenir compliqué. Mais si c'est soit a soit b qui contient le facteur $p^{2k}$ tout entier ca veut dire que il n'y qu'un seul nombre (a ou b) qui est un carré ?

Non : le raisonnement s'applique aux deux. séparément.

Ce qui se passe, c'est que les facteurs de c² se répartissent entre a et b, puisque ces deux-là n'ont pas de facteur premier.

Prends un exemple numérique pour fixer les idées : 100 est un carré ; essaie de le décomposer en un produit ab de deux nombres premiers entres eux ; tu verras que tu trouves toujours des carrés pour a et b.

Et les facteurs de c² ont forcément un exposant pair, n'est-ce pas.

d'accord j'ai fait l'exemple avec 100 et effectivement on trouve bien des carrés. je crois pour l'instant j'ai à peu près compris. En fait il y avait une partie du message qui n'était pas affichée au moment où j'ai répondu.
Merci

Salut, j'ai encore besoin de ton aide car il y a une suite à mon exercice. Je vais écrire l'énoncé entier mais j'en ai déjà traité une grande partie .

On consièdre un triplet (x,y,z) solution de $x$ ^2 $+ y$ ^2 $z^2$ (E) tel que : pgcd (x,y) = pgcd (y,z) = pgcd (x,z) =1. (Un tel triplet est appelé solution primitive de (E)).

Démontrer que x et y sont de parités différentes : en déduire que z est impair. Dans la suite de l'exercice on considèrera que x est impair et y pair.
Démontrer que $y^2$ = (z+x)(z-x), puis que pgcd (z+x;z-x) =2.
En déduire qu'il existe trois nombres x', y' et z' tels que :
y = 2y' , z+x = 2x' , z-x = 2z' et pgcd (x';z') = 1
Démontrer que y' $^2$ = x'z'. En déduire que x' et z' sont des carrés. Par la suite on notera x' $u^2$ et z' = $v^2$ .
Démontrer que pgcd (u,v) =1
Exprimer x, y et z en fonction de u et v. En déduire la forme générale des solutions primitives de (E).

Voilà l'exercice. Alors j'ai répondu aux questions 1, 2 et 3. Seulement je suis bloquée à la question 4. Notre professeur nous a suggéré de pratiquer un raisonnement par l'absurde en supposant que pgcd (u,v) = ? > 1 mais je ne vois pas à quoi ca nous mène.

Re-salut !

alors x' et z' sont premiers entre eux et on a x' = u² ainsi que z' = v² ;

suppose que u et v ont un diviseur commun d > 1 ; alors ce serait un diviseur commun à u² et v², non ? donc à x' et z' : ce qui est exclu.

Merci beaucoup, je cherchais encore quelque chose de compliqué alors qu'il fallait faire simple.

Salut voilà j'ai encore une dernière question concernant cet exercice.
En conclusion, on doit démontrer que toute solution (X,Y,Z) de (E) peut s'écrire (X,Y,Z)= (ax,ay,az) où a est un entier non nul et (x,y,z) une solution primitive de (E) et en déduire la forme générale des solutions de (E).

Dans la question précédente on devait exprimer x, y et z en fonction de u et v :
cela donne x = $u^2$ - $v^2$
y = 2uv et z = $u^2$ + $v^2$

Je ne sais pas comment procéder .
Merci de m'aider

Soit (X, Y, Z) une solution de (E).

Si elle est primitive alors c'est ok.

Sinon, soit d le pgcd de X et Y ; alors X=dx et Y=dy.
Mais donc Z²=d²(x²+y²) : ce qui montre que d divise Z. Il reste à prouver que d est le pgcd de X et Z par ex, non ?

Comme je te l'ai dit en MP, j'ai pas trop le temps de regarder ça.

@+

il faut aussi faire remarquer que si x, y et z sont solution de (E), alors dx, dy et dz en sont une autre.

C'est toujours vrai que si on multiplie toutes les solutions (x,y,z) par un même nombre a alors on trouve un autre triplet de solutions?
Et est ce que quand je dois montrer que d est aussi le pgcd de x et z je dois prendre le même nombre d ou en prendre un autre ?

Pour ta première question : oui, car on a

(dx)² + (dy)² = (dz)² ⇔ d²(x² + y²) = d² z² ⇔ x² + y² = z²

Donc ensuite par exemple je prend d' le pgcd de X et Z et alors X=d'x et Z=d'z

D'où $Y^2$ = $Z^2$ - $X^2$ = d' $^2$ $(z$ ^2 $x^2$ )

et ensuite que dois je faire?

il y a une erreur de signe, pas trop grave.

En tout cas ainsi tu montres que d' est un diviseur de Y, c'est donc un diviseur commun à X et Y : on a donc d' | d.

D'où d' = d.

oui je me suis trompée c'est un moins et pas un plus.

merci beaucoup

Et donc la forme générale des solutions de (E) est : {a $(u$ ^2 $v^2$ ) ; 2auv ; a $(u$ ^2 $v^2$ )} ?

c'est exact, à condition de préciser que u et v sont premiers entre eux et a un entier quelconque.

@+

Merci merci merci

Je vais enfin pouvoir terminer mon devoir maintenant.

Merci encore et bonne nuit