Triplets de Pythagore



  • Bonjour voilà j'ai un exercice de spécialité et j'ai du mal à démarrer les 2 premières questions qui m'empechent de faire la suite alors si vous pouvez m'aider ca serait super merci d'avance ;

    1. Démontrer qu'un nombre pair non nul et non multiple de 4 ne peut pas etre un carré. En déduire que la somme des carrés de 2 nombres impairs ne peut pas etre un carré.

    2. Soient a,b et c trois entiers naturels non nuls tels que c2c^2 = ab et pgcd (a,b) =1.
      Démontrer que a et b sont des carrés.

    Voilà le début. Alors pour la question 1) , je sais qu'un nombre pair non nul peut s'écrire sous la forme n= 2k avec k appartenant à mathbbZmathbb{Z}*
    et si en plus d'etre pair et non nul, il est non multiple de 4 , il s'écrit n = 4k + 2 avec k appartenant à mathbbZmathbb{Z}*

    Je ne suis pas sure de ca à la base mais même si ca l'est je n'arrive pas à aller plus loin.

    Merci à tous ceux qui pourront m'aider.
    😄



  • Salut

    Pour la 1), être non multiple de 4 se traduit par le fait d'être de la forme 4k+1, ou 4k+2 ou 4k+3 ; être multiple de 2 impose donc d'être de la forme 4k+2, ce que tu avais parfaitement vu.

    Maintenant, l'énoncé demande de montrer qu'un tel nombre ne peut pas être de la forme m².

    Supposons le contraire ; on aurait alors 4k+2 = m².

    Pourquoi une telle égalité est-elle impossible ? distingue par exemple le cas où m est pair et celui où m est impair.



  • Pour le cas où m est impair on a m2m^2 est aussi impair
    Or 4k+2 est pair donc la relation 4k+2=m24k+2=m^2 est impossible.

    Pour m est pair on a m2m^2 qui est aussi pair.
    Donc normalement on se retrouve avec m = sqrt(4k+2)sqrt(4k+2) ou m = - sqrt(4k+2)sqrt(4k+2) .

    Mais je ne vois pas où cela mène.



  • Je dirais ceci : si m est pair, alors il s'écrit 2q. Donc on aurait 4q² = 4k+2.

    Pourquoi ceci n'est-il pas possible ?



  • 4q24q^2 = 4k+2 équivaut à q2q^2 = k+2 or k+2 n'est pas un carré donc 4q24q^2 = 4k+2 est impossible.

    Est ce ca ?



  • Bbygirl
    4q^2$ = 4k+2 équivaut à q2q^2 = k+2

    mais quelle horreur... est-ce ainsi que tu simplifies par 4 ?



  • rolala il faut que j'aille me coucher si je simplifies par 4 aussi médicorement excuse moi
    4q2 = 4k+2 équivaut à q2 = k+ 1/2

    Mais une fois que tu trouves ca tu conclus quoi ? moi je ne vois pas



  • J'aurais plutôt dit ceci : 2 = 4(q² - k).

    Est-ce que ça te semble possible ? Oui-non, pourquoi ?



  • bah je ne vois pas pourquoi ca ne serait pas possible. je vois vraiment pas là



  • Est-ce que 2 est divisible par 4 ?



  • oui c'est ce que je viens de trouver en réfléchissant un peu. ca me tue quand je ne trouve pas des choses évidentes comme ca.

    Merci beaucoup beaucoup beaucoup

    😁



  • Fin de la question 1

    Deux nombres impairs : 2n+1 et 2m+1 ; la somme de leurs carrés est (après calculs...) de la forme 4k+2 : d'après ce qu'on s'est dit avant, ce ne peut être un carré.

    Citation

    1. Soient a, b et c trois entiers naturels non nuls tels que c² = ab et pgcd (a,b) =1. Démontrer que a et b sont des carrés.
      Utilisons peut-être la décomposition en produit de puissances de facteurs premiers de a et b, non ?


  • euh comment on décompose en produit de puissances de facteurs premiers a et b sans savoir ce que c'est ?
    je sais juste que pgcd (a,b)=1 équivaut à au+bv =1 avec u et v appartenant à Z



  • Non ; tu sais plutôt que pgcd(a , b) = 1 signifie : a et b n'ont aucun facteur premier en commun.

    Supposons maintenant que p soit un facteur premier de c² ; alors je dis que p intervient à une puissance paire, disons p2kp^{2k}, dans la décomposition de c².
    Du fait que a et b n'ont pas de facteur premier en commun, c'est soit a soit b qui contient le facteur p2kp^{2k} tout entier.



  • Maintenant, si q est un facteur premier de a, par exemple, alors q ne peut être un facteur premier de b, n'est-ce pas...

    Mais donc, c'est un facteur premier de c², donc il intervient à une puissance paire.

    Ceci démontre donc qu'au final, les facteurs premiers de a ont tous un exposant pair ; ce qui fait de a un carré.

    Même chose pour b.



  • Oula j'ai pas vu ca moi. ca commence à devenir compliqué. Mais si c'est soit a soit b qui contient le facteur p2kp^{2k} tout entier ca veut dire que il n'y qu'un seul nombre (a ou b) qui est un carré ?



  • Non : le raisonnement s'applique aux deux. séparément.

    Ce qui se passe, c'est que les facteurs de c² se répartissent entre a et b, puisque ces deux-là n'ont pas de facteur premier.

    Prends un exemple numérique pour fixer les idées : 100 est un carré ; essaie de le décomposer en un produit ab de deux nombres premiers entres eux ; tu verras que tu trouves toujours des carrés pour a et b.



  • Et les facteurs de c² ont forcément un exposant pair, n'est-ce pas.



  • d'accord j'ai fait l'exemple avec 100 et effectivement on trouve bien des carrés. je crois pour l'instant j'ai à peu près compris. En fait il y avait une partie du message qui n'était pas affichée au moment où j'ai répondu.
    Merci 😄



  • Salut, j'ai encore besoin de ton aide car il y a une suite à mon exercice. Je vais écrire l'énoncé entier mais j'en ai déjà traité une grande partie .

    On consièdre un triplet (x,y,z) solution de xx^2+y+y^2=z2=z^2 (E) tel que : pgcd (x,y) = pgcd (y,z) = pgcd (x,z) =1. (Un tel triplet est appelé solution primitive de (E)).

    1. Démontrer que x et y sont de parités différentes : en déduire que z est impair. Dans la suite de l'exercice on considèrera que x est impair et y pair.

    2. Démontrer que y2y^2 = (z+x)(z-x), puis que pgcd (z+x;z-x) =2.
      En déduire qu'il existe trois nombres x', y' et z' tels que :
      y = 2y' , z+x = 2x' , z-x = 2z' et pgcd (x';z') = 1

    3. Démontrer que y'2^2 = x'z'. En déduire que x' et z' sont des carrés. Par la suite on notera x' =u2=u^2 et z' = v2v^2.

    4. Démontrer que pgcd (u,v) =1

    5. Exprimer x, y et z en fonction de u et v. En déduire la forme générale des solutions primitives de (E).

    Voilà l'exercice. Alors j'ai répondu aux questions 1, 2 et 3. Seulement je suis bloquée à la question 4. Notre professeur nous a suggéré de pratiquer un raisonnement par l'absurde en supposant que pgcd (u,v) = ? > 1 mais je ne vois pas à quoi ca nous mène.



  • Re-salut !

    alors x' et z' sont premiers entre eux et on a x' = u² ainsi que z' = v² ;

    suppose que u et v ont un diviseur commun d > 1 ; alors ce serait un diviseur commun à u² et v², non ? donc à x' et z' : ce qui est exclu.



  • Merci beaucoup, je cherchais encore quelque chose de compliqué alors qu'il fallait faire simple.



  • Salut voilà j'ai encore une dernière question concernant cet exercice.
    En conclusion, on doit démontrer que toute solution (X,Y,Z) de (E) peut s'écrire (X,Y,Z)= (ax,ay,az) où a est un entier non nul et (x,y,z) une solution primitive de (E) et en déduire la forme générale des solutions de (E).

    Dans la question précédente on devait exprimer x, y et z en fonction de u et v :
    cela donne x = u2u^2 - v2v^2
    y = 2uv et z = u2u^2 + v2v^2

    Je ne sais pas comment procéder .
    Merci de m'aider 😄



  • Soit (X, Y, Z) une solution de (E).

    Si elle est primitive alors c'est ok.

    Sinon, soit d le pgcd de X et Y ; alors X=dx et Y=dy.
    Mais donc Z²=d²(x²+y²) : ce qui montre que d divise Z. Il reste à prouver que d est le pgcd de X et Z par ex, non ?

    Comme je te l'ai dit en MP, j'ai pas trop le temps de regarder ça.

    @+



  • il faut aussi faire remarquer que si x, y et z sont solution de (E), alors dx, dy et dz en sont une autre.



  • C'est toujours vrai que si on multiplie toutes les solutions (x,y,z) par un même nombre a alors on trouve un autre triplet de solutions?
    Et est ce que quand je dois montrer que d est aussi le pgcd de x et z je dois prendre le même nombre d ou en prendre un autre ?



  • Pour ta première question : oui, car on a

    (dx)² + (dy)² = (dz)² ⇔ d²(x² + y²) = d² z² ⇔ x² + y² = z²



  • Donc ensuite par exemple je prend d' le pgcd de X et Z et alors X=d'x et Z=d'z

    D'où Y2Y^2= Z2Z^2 - X2X^2 = d'2^2 (z(z^2+x2+x^2)

    et ensuite que dois je faire?



  • il y a une erreur de signe, pas trop grave.

    En tout cas ainsi tu montres que d' est un diviseur de Y, c'est donc un diviseur commun à X et Y : on a donc d' | d.

    D'où d' = d.



  • oui je me suis trompée c'est un moins et pas un plus.

    merci beaucoup 😄

    Et donc la forme générale des solutions de (E) est : {a (u(u^2v2-v^2) ; 2auv ; a (u(u^2+v2+v^2)} ?


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