Cercle des 9 points d'un triangle



  • Bonjour,

    je n'arrive pas à prouver pourquoi le milieu de [BD] appartient au cercle (question 7).
    Merci par avance de votre aide.

    Voici le sujet:
    Soit un triangle quelconque ABC et A’, B’, C’ les milieux respectifs des côtés [BC], [AC] et [AB].

    1. Tracer la hauteur issue de A, notée [AH].
    2. Quelle est la nature du quadrilatère A’HB’C’ ?
    3. Tracer le cercle C circonscrit au triangle A’B’C’.
    4. Montrer que les points A’, H, B’, C’ sont sur le cercle C.
    5. Tracer les deux autres hauteurs [BI] et [CJ] du triangle ABC. Démontrer que I et J sont sur le cercle C.
    6. Présenter les résultats précédents sous forme de théorème.
    7. Soit D l’orthocentre du triangle ABC. Quelles sont les hauteurs du triangle BCD ? Que remarque-t-on ? Que peut-on dire du milieu de [BD] ?
    8. Soient les triangles BAD et ADC. Que peut-on dire des milieux de [AD] et de [CD] ?
    9. Justifier le titre « cercle des 9 points d’un triangle ». Ce cercle est aussi appelé cercle d’Euler .


  • http://img141.imageshack.us/img141/6466/capture01rn6.th.jpg

    En fait, il s'agit d'appliquer le théorème énoncé à la question précédente au triangle BDC, dont les hauteurs sont (AH), (AB) et (AC). Les milieux des côtés de BDC sont sur le cercle qui passe par les pieds des hauteurs de BDC.



  • Merci pour votre réponse.


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