Nombres fréquentables

Salut, voilà j'ai encore un problème avec un exercice de spécialité, toute aide sera la bienvenue

Les membres de la secte des adorateurs du carré ne fréquentent que les nombres qui sont des carrés parfaits ou qui,à la rigueur, sont somme de 2 carrés.
Pour tester la fréquentabilité ils ont leurs recettes.
Ainsi, ils éliminent systématiquement de leurs fréquentations les nombres qui, lorsqu'on les divise par 4 donnent pour reste 3. Ils acceptent au contraire sans discuter le produit de 2 nombres fréquentables.
Sauriez-vous justifier ces principes?
2005 est il un nombre fréquentable ?

Voilà l'exercice.

On sait que les nombres qui lorsqu'on les divise par 4 donnent 3 s'écrivent 4k+3 avec k appartenant à Z.
Après ça je ne sais pas comment m'en servir

En fait j'ai trouvé pourquoi ils éliminent les nombres qui lorsqu'on les divise par 4 donnent pour reste 3
CE que je n'ai pas trouvé c'est pourquoi ils acceptent le produit de 2 nombres fréquentables.

Amusant.

Tu as vu que si un nombre est de la forme 4k+3, alors... mais au fait qu'as-tu vu ?

Maintenant, pour le 2e critère : imaginons que a et b soient deux carrés ; alors leur produit est encore un carré pas vrai ? donc fréquentable.

Si a et b sont sommes de deux carrés, par exemple 5=2²+1² et 13=3²+2² ; alors le produit a×b (c'est-à-dire 65=5×13) est-il fréquentable ?

Et que dire du fait où par exemple a est un carré, et b une somme de deux carrés ?

Quant à 2005...

est-ce un carré ?
une somme de deux carrés ?
un produit de nombres de ce genre ?

alors pour le premier cas j'ai essayé de montrer que 4k+3 = $m^2$ était impossible.

a) si m est pair, alors $m^2$ l'est aussi et comme 4k+3 est impair l'équation n'a pas de sens.
b) ensuite si on prent m impair, $m^2$ l'est aussi et on a m = 2k'+1 avec k' appartenant à Z.
donc ca nous donne 4k+3 = (2k' $1)^2$
et au final (je détaille pas le calcul c'est trop long à écrire) on se retrouve avec 2 =4(k' $^2$ + k' - k) ce qui voudrait dire que 4 divise 2, ce qui est faux.

Ainsi, 4k+3 ne peut pas etre un carré parfait.

Ensuite je suppose 4k+3 = $a^2$ + $b^2$

a) si a et b sont tous les 2 pairs, $a^2$ + $b^2$ est pair donc $a^2$ + $b^2$ est différent de 4k+3.

b) si a et b sont tous les 2 impairs, $a^2$ + $b^2$ est pair car la somme de 2 nombres impairs est un nombre pair.

c) enfin, si a et b sont de parité différente (on pose a pair et b impair),
$a^2$ + $b^2$ = (2k' $^2$ + $2q+1)^2$

si 4k+3 = $a^2$ + $b^2$
alors 4k+3=(2k' $^2$ + $2q+1)^2$
ce qui équivaut à 2 = 4 (2k' $^2$ + q - k)
or 4 ne divise pas 2 donc 4k+3 n'est pas la somme de 2 carrés.

est ce le bon raisonnement ?

ça m'a l'air bon, sauf ceci : 2 = 4 (
2k' $^2$ +
?+ q - k), à ce qu'il me semble ; mais c'est un détail.

donc tu as prouvé ce fait : un carré ou une somme de deux carrés ne sont pas de la forme 4k+3.

voilà le fruit de mes réflexions, j'espère que tu auras le temps de le voir aujourd'hui parce que mpon exercice est pour demain (j'ai conscience de m'y etre pris tard)

Donc pour le produit de 2 nombres fréquentables,on a 3 cas à traiter :

on prend le cas d'un produit de 2 carrés parfaits nommés $a^2$ et $b^2$ :

On a $a$ ^2 $b^2$ = $ab)^2$
Donc c'est un nombre fréquentable.

On prend le cas du produit d'un carré parfait nommé $a^2$ par la somme de 2 carrés qu'on nommera $b^2$ + $c^2$ )

On a donc $a$ ^2 $b^2$ + $c^2$ ) = $a$ ^2 $b^2$ + $a$ ^2 $c^2$ = $ab)^2$ + $ac)^2$

C'est donc un nombre fréquentable car la somme de 2 carrés.

Par contre pour le dernier cas je n'y arrive pas

un petit conseil?

Oui, mais ça va être coton...

Par exemple : 5 = 2² + 1² et 13 = 3² + 2² ; or 5×13 = 65, mais 65 = 8² + 1²... donc le produit de deux nombres qui sont sommes de deux carrés semble être lui-même somme de deux carrés.

Fais une autre vérification du même genre, histoire de te convaincre.

En toute généralité, il faut partir de u= a² + b² et v = c² + d². On doit essayer de mettre le produit u×v sous la forme p² + q²...

En avant :

u×v = (a² + b²)(c² + d²)

=
a²c²+ a²d² + b²c²

b²d²

=
(ac + bd)² - 2acbd+ a²d² + b²c²

= (ac + bd)²

2acbd + a²d² + b²c²

= (ac + bd)² +
(ad - bc)².

En posant p = ac + bd et q = ad - bc, on exhibe ainsi une décomposition de u×v en somme p² + q² de deux carrés.

Théorème : si deux nombres sont sommes de deux carrés, alors leur produit est lui-même somme de deux carrés.

La formule précédente est due à Fibonacci (Léonard de Pise, XIIIe siècle), paraît-il

Et pour finir l'exercice :

puisque 2005 = 5×401,

puisque 4 = 2² + 1² et 401 = 20² + 1²,

on voit que 2005 = (2² + 1²)(20² + 1²),

et le théorème ci-dessus montre que 2005 est donc lui-aussi une somme de deux carrés (qu'on peut d'ailleurs donner explicitement... tu les donneras, Bbygirl stp ?).