exercice sur les nombres complexes



  • Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal (O ; vect(OU) ; vect(OV)), on considère les points Mn d'affixes zn=(1+i√3)(i/2)^n où n est un entier naturel.

    1. Exprimez Zn+1 en fonction de zn puis zn en fonction de z0 et n.

    2. Donner z0, z1, z2, z3 et z4 sous forme algébrique et sous forme trigonométrique.

    3. Placer les points M0, M1, M2, M3 et M4 (unité graphique: 4cm)

    4. Déterminer la distance OMn en fonction de n.

    5)a) Montrer que l'on a MnMn+1=√5/(2^n) pour tout entier de naturel n.

    b) On pose Ln= ∑(de k=0 à n) MkMk+1.
    Déterminer Ln en fonction de l'entier n.
    Calculer lim (n->+∞) Ln

    1. Déterminer une mesure de l'angle (vect(OM0) ; vect(OMn)) en fonction de l'entier n.
      Pour quelles valeurs de n, les points O,(vect(Mo)) et (vect(Mn)) sont-ils alignés ?

    Voilà j'ai cet exercice à faire pour mardi et j' ai réussi a faire cet exercice jusqu'a la question 3 mais aprés je bloque pouvez vous m'aider svp



  • Bonjour

    tu sais que si M a pour affixe z alors om=zom = |{z}|

    donc c'est cette définition qu'il faut utiliser

    de plus si M a pour affixe z et M' a pour affixe z' alors mm=zzmm' = |{z'-z}|



  • et si tu montres ce qui est demandé sur MMnM</em>n+1M</em>{n+1} tu remarqueras que c'est l'expression d'une suite géométrique

    Or la somme des n premiers termes d'une suite géométrique est donné par une formule connue



  • Zorro
    et si tu montres ce qui est demandé sur MMnM</em>n+1M</em>{n+1} tu remarqueras que c'est l'expression d'une suite géométrique

    Or la somme des n premiers termes d'une suite géométrique est donné par une formule connue

    merci de votre réponse mais comment faire pour montrer que MnMn+1=√5/2n
    merci



  • bin tu calcules le module de zn+1z_{n+1} - znz_n



  • Zorro
    bin tu calcules le module de zn+1z_{n+1} - znz_n

    |Zn|=1/(2^2n) ? merci



  • et tu connais Z n+1_{n+1} en fonction de Z n_n donc tu ne dois pas avoir de mal à calculer

    |Zn+1Z_{n+1} - ZnZ_n| non ?



  • Zorro
    et tu connais Z n+1_{n+1} en fonction de Z n_n donc tu ne dois pas avoir de mal à calculer

    |Zn+1Z_{n+1} - ZnZ_n| non ?



  • tu relis mon message de 19h13, tout y est !



  • Zorro
    tu relis mon message de 19h13, tout y est !

    voila mon calcul
    |ZZ_{n+1}Zn-Z_n|=|ZZ_n(i/2)Zn(i/2)-Z_n|=|ZnZ_n((i/2)-1)|

    mais par la suite les calculs me sembanblent compliqués donc je bloque



  • il faut que tu apprnnes les formules concernant les modules et les arguments

    |Z Z'| = |Z| * |Z'|

    tu as |ZnZ_n((i/2)-1)| = |ZnZ_n| * |(i/2)-1|

    tu connais |ZnZ_n| et tu sais calculer |(i/2)-1| donc où est la difficulté ?



  • Zorro
    il faut que tu apprnnes les formules concernant les modules et les arguments

    |Z Z'| = |Z| * |Z'|

    tu as |ZnZ_n((i/2)-1)| = |ZnZ_n| * |(i/2)-1|

    tu connais |ZnZ_n| et tu sais calculer |(i/2)-1| donc où est la difficulté ?

    je narive toujours pas a trouver le module de zn merci



  • et avec la question 1) Exprimez Zn+1Z_{n+1} en fonction de ZnZ_n puis ZnZ_n en fonction de Z0Z_0 et n Tu n'y arrives pas ?



  • Zorro
    et avec la question 1) Exprimez Zn+1Z_{n+1} en fonction de ZnZ_n puis ZnZ_n en fonction de Z0Z_0 et n Tu n'y arrives pas ?

    si la question 1 j y suis arrivé mais c'est le module que je trouve pas



  • que trouves tu pour ZnZ_n en fonction de Z0Z_0 et n

    ZnZ_n = Z0Z_0 (???)??(???)^{??}

    et appliques |Z Z'| = |Z| * |Z'|

    et donc |ZnZ^n| = |Z|n^n



  • Je redonne mon conseil : revoir les formules sur les modules et les arguments (il doit y avoir un résumé fort bien fait dans ton livre ! )

    bon je vais me déconnecter donc je te donne un indice pour la suite :

    pour les angles il faut utiliser

    soient u, et u deux vecteurs non nuls d’affixes respectives z et z’\text {soient } \vec {u} , \text { et } \vec {u'} \text { deux vecteurs non nuls d'affixes respectives z et z'}

    si le repère est (o;oi,oj)(o ; \vec {oi} , \vec {oj})

    alors angle (oi,u)=argz[2π]\text {alors angle }(\vec {oi} , \vec {u}) = \text {arg} z [2\pi]

    et angle (u,u)=argzargz[2π]\text {et angle }(\vec {u} , \vec {u'}) = \text {arg} z - \text {arg} z' [2\pi]



  • je trouve avec toutes vos indications et les formules du cour |Zn|=1^n est ce cela ?



  • je ne pense pas ???? cela ne te semble pas un peu bizarre qu'ils aient tous le même module 1n1^n = 1 !!!

    Que trouves à la question exprimer ZnZ_n en fonction de Z0Z_0 et n ?
    Et que vaut Z0Z_0 ?



  • oui c'est pour cela que je pose la question
    Zn=Z0*(i/2)^n



  • z0=1+i√3



  • tu ne veux vraiment pas utiliser les balises qui permettent d'écrire les indices et les exposants ?
    c'est en dessous du cadre où tu saisis ta réponse (3ème ligne il ya Exposant Indice ..)

    il suffit de mettre l'indice souhaité entre les balises qui apparaissent (sub) (/sub)
    et l'exposant entre les balises qui apparaissent (sub) (/sub)

    donc z0z_0 = 1 + i√3

    et ZnZ_n = ZZ_0(i/2)n*(i/2)^n

    Donc | ZnZ_n| = | ZZ_0(i/2)n*(i/2)^n| = | Z0Z_0 | *| (i/2)n(i/2)^n | = | 1 + i√3 | * | (i/2)n(i/2)^n |

    Et dis moi comment tu troouves 1n1^n !!!!



  • |1+i√3||(i/2)^n|=|1+i√3||(i/2)|^n
    =√(1²+(√3)²)[√(1/2)²]^n
    =√4
    [1/(√4)]^n
    =2*(1/2)^n
    =2/2^n ?



  • C'est en effet plus juste !!! et la suite tu as trouvé ?



  • j'ai réussi a faire tout le reste sauf a trouver pour quelles valeur de n les points étaient alignés



  • Si les points sont alignés que vaut l'angle en question ?



  • Bonjour. J'ai lu tout cette discussion ( datant de 2006 quand meme.). Et j'ai le meme exercice en DM et je bloque a la question exprimer OMn en fonction de n.

    J'ai trouver:
    OMn = |Zn| = | Z0Z_0 <em>(i/2)n<em>(i/2)^n =2exp $^{i
    ∏/3}$ *(i/2)n.

    Je sais que la réponse est 2(1/2)n2*(1/2)^n mais je n'arrive pas a trouver le calcul. Je ne sais pas comment multiplier une exponentielle avec une puissance...

    Merci.


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