Résoudre un problème avec les nombres complexes

Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal (O ; vect(OU) ; vect(OV)), on considère les points Mn d'affixes zn=(1+i√3)(i/2)^n où n est un entier naturel.

Exprimez Zn+1 en fonction de zn puis zn en fonction de z0 et n.
Donner z0, z1, z2, z3 et z4 sous forme algébrique et sous forme trigonométrique.
Placer les points M0, M1, M2, M3 et M4 (unité graphique: 4cm)
Déterminer la distance OMn en fonction de n.

5)a) Montrer que l'on a MnMn+1=√5/(2^n) pour tout entier de naturel n.

b) On pose Ln= ∑(de k=0 à n) MkMk+1.
Déterminer Ln en fonction de l'entier n.
Calculer lim (n->+∞) Ln

Déterminer une mesure de l'angle (vect(OM0) ; vect(OMn)) en fonction de l'entier n.
Pour quelles valeurs de n, les points O,(vect(Mo)) et (vect(Mn)) sont-ils alignés ?

Voilà j'ai cet exercice à faire pour mardi et j' ai réussi a faire cet exercice jusqu'a la question 3 mais aprés je bloque pouvez vous m'aider svp

Bonjour

tu sais que si M a pour affixe z alors $om = |{z}|$

donc c'est cette définition qu'il faut utiliser

de plus si M a pour affixe z et M' a pour affixe z' alors $mm' = |{z'-z}|$

et si tu montres ce qui est demandé sur $M$ n $M</em>{n+1}$ tu remarqueras que c'est l'expression d'une suite géométrique

Or la somme des n premiers termes d'une suite géométrique est donné par une formule connue

Zorro
et si tu montres ce qui est demandé sur $M$ n $M</em>{n+1}$ tu remarqueras que c'est l'expression d'une suite géométrique

Or la somme des n premiers termes d'une suite géométrique est donné par une formule connue

merci de votre réponse mais comment faire pour montrer que MnMn+1=√5/2n
merci

bin tu calcules le module de $z_{n+1}$ - $z_n$

Zorro
bin tu calcules le module de $z_{n+1}$ - $z_n$

|Zn|=1/(2^2n) ? merci

et tu connais Z $_{n+1}$ en fonction de Z $_n$ donc tu ne dois pas avoir de mal à calculer

| $Z_{n+1}$ - $Z_n$ | non ?

Zorro
et tu connais Z $_{n+1}$ en fonction de Z $_n$ donc tu ne dois pas avoir de mal à calculer

| $Z_{n+1}$ - $Z_n$ | non ?

tu relis mon message de 19h13, tout y est !

Zorro
tu relis mon message de 19h13, tout y est !

voila mon calcul
| $Z$ _{n+1} $Z_n$ |=| $Z$ _n $i/2)-Z_n$ |=| $Z_n$ ((i/2)-1)|

mais par la suite les calculs me sembanblent compliqués donc je bloque

il faut que tu apprnnes les formules concernant les modules et les arguments

|Z Z'| = |Z| * |Z'|

tu as | $Z_n$ ((i/2)-1)| = | $Z_n$ | * |(i/2)-1|

tu connais | $Z_n$ | et tu sais calculer |(i/2)-1| donc où est la difficulté ?

Zorro
il faut que tu apprnnes les formules concernant les modules et les arguments

|Z Z'| = |Z| * |Z'|

tu as | $Z_n$ ((i/2)-1)| = | $Z_n$ | * |(i/2)-1|

tu connais | $Z_n$ | et tu sais calculer |(i/2)-1| donc où est la difficulté ?

je narive toujours pas a trouver le module de zn merci

et avec la question 1) Exprimez $Z_{n+1}$ en fonction de $Z_n$ puis $Z_n$ en fonction de $Z_0$ et n Tu n'y arrives pas ?

Zorro
et avec la question 1) Exprimez $Z_{n+1}$ en fonction de $Z_n$ puis $Z_n$ en fonction de $Z_0$ et n Tu n'y arrives pas ?

si la question 1 j y suis arrivé mais c'est le module que je trouve pas

que trouves tu pour $Z_n$ en fonction de $Z_0$ et n

$Z_n$ = $Z_0$ $(???)??(???)^{??}$

et appliques |Z Z'| = |Z| * |Z'|

et donc | $Z^n$ | = |Z| $^n$

Je redonne mon conseil : revoir les formules sur les modules et les arguments (il doit y avoir un résumé fort bien fait dans ton livre ! )

bon je vais me déconnecter donc je te donne un indice pour la suite :

pour les angles il faut utiliser

$z’\text {soient } \vec {u} , \text { et } \vec {u'} \text { deux vecteurs non nuls d'affixes respectives z et z'}$

si le repère est $\vec {oi} , \vec {oj})$

$(oi⃗,u⃗)=argz[2π]\text {alors angle }(\vec {oi} , \vec {u}) = \text {arg} z [2\pi]$

$(u⃗,u′⃗)=argz−argz′[2π]\text {et angle }(\vec {u} , \vec {u'}) = \text {arg} z - \text {arg} z' [2\pi]$

je trouve avec toutes vos indications et les formules du cour |Zn|=1^n est ce cela ?

je ne pense pas ???? cela ne te semble pas un peu bizarre qu'ils aient tous le même module $1^n$ = 1 !!!

Que trouves à la question exprimer $Z_n$ en fonction de $Z_0$ et n ?
Et que vaut $Z_0$ ?

oui c'est pour cela que je pose la question
Zn=Z0*(i/2)^n

z0=1+i√3

tu ne veux vraiment pas utiliser les balises qui permettent d'écrire les indices et les exposants ?
c'est en dessous du cadre où tu saisis ta réponse (3ème ligne il ya Exposant Indice ..)

il suffit de mettre l'indice souhaité entre les balises qui apparaissent (sub) (/sub)
et l'exposant entre les balises qui apparaissent (sub) (/sub)

donc $z_0$ = 1 + i√3

et $Z_n$ = $Z$ _0 $i/2)^n$

Donc | $Z_n$ | = | $Z$ _0 $i/2)^n$ | = | $Z_0$ | *| $i/2)^n$ | = | 1 + i√3 | * | $i/2)^n$ |

Et dis moi comment tu troouves $1^n$ !!!!

|1+i√3||(i/2)^n|=|1+i√3||(i/2)|^n
=√(1²+(√3)²)[√(1/2)²]^n
=√4[1/(√4)]^n
=2*(1/2)^n
=2/2^n ?

C'est en effet plus juste !!! et la suite tu as trouvé ?

j'ai réussi a faire tout le reste sauf a trouver pour quelles valeur de n les points étaient alignés

Si les points sont alignés que vaut l'angle en question ?

Bonjour. J'ai lu tout cette discussion ( datant de 2006 quand meme.). Et j'ai le meme exercice en DM et je bloque a la question exprimer OMn en fonction de n.

J'ai trouver:
OMn = |Zn| = | $Z_0$ $em>(i/2)^n$ =2exp $^{i</em> ∏/3}$ *(i/2)n.

Je sais que la réponse est $2*(1/2)^n$ mais je n'arrive pas a trouver le calcul. Je ne sais pas comment multiplier une exponentielle avec une puissance...

Merci.