Somme de cosinus, récurrence (DM)

Bonjour ,
j'ai un exercice qui me donne du mal , et je sais pas si ce que j'ai fait est juste ou pas , si je suis dans la bonne voie ou pas ...
Donc :

x ∈ $mathbb{R}$ et n ∈ $$mathbb{N}$^*$
On pose $C_n$ = cos x + cos 3x + ... + cox(2n-1)x

En utilisant les formules trigonometriques prouvez que :
sin(a)cos(b) = 1/2 * (sin(a+b) + sin (a-b)) [1]
et sin 2a = 2*sin(a)cos(a) [2]

Donc ça je l'ai démontré pas de problème ( c'est pour que vous sachiez que j'avais ça en question préliminaire , ça peut vous aider pour la suite).

Transformez en des sommes les expressions suivantes:

sin(x) *cos((2n+1)x) et sin (nx) * cos (nx)

Donc pour la première j'ai fait :
sin(x) *cos((2n+1)x) = sin(x)*cos(2nx+x)
= 1/2 * ( sin (x + 2nx+x) + sin ( x - (2nx +x)) ==> ici je me sert de [1]
= 1/2 * ( sin (2x(n+1)) + sin (-2nx) )
= sin(n+1)*cos(n+1) + sin ( -nx) * cos ( -nx) ==> ici je me sert de [2]

Donc voilà et pour la deuxieme j'ai fait :
sin ( nx) * cos (nx) = 1/2 sin ( 2nx) là j'utilise [2] ; je sais c'est pas vraiment une somme mais bon... je sais pas ce qu'il faut faire sinon

Démontrez que pour tout entier n ≥ 1 et pour tout x ≠k $p i$ ( avec k ∈ $mathbb{Z}$ )
$C_n$ = ( cos (nx) * sin (nx) ) / ( sin (x) )

Bon là j'ai commencé à démontrer par récurrence j'ai dis que
$C_{n+1}$ - cos x + cos(2n + 1)x = ( cos (nx) * sin (nx) ) / ( sin (x) )

De là j'ai développé en me servant des egalité démontrés au part avant mais ma demonstration ne marche pas...

Donc voilà si quelqu'un à le courage de m'aider dans ce long et perieux exercice je lui en serai très reconnaissant , merci d'avance !

Citation
Donc voilà et pour la deuxieme j'ai fait :
sin ( nx) * cos (nx) = 1/2 sin ( 2nx) là j'utilise [2] ; je sais c'est pas vraiment une somme mais bon... je sais pas ce qu'il faut faire sinon
Sisi, c'est bien une somme de sinus.

Pour le reste :

$c_{n+1} = \cos x + \cos (3x) + ... + \cos [(2n-1)x] + \cos [(2(n+1)-1)x] = c_n + \cos [(2n+1)x]$

Applique l'HR et vois ce que ça donne avec ta formule (1) - que je n'ai pas vérifiée (pas le temps) !

Note : "au part avant", ou "au paravent" ? non : auparavant !

ça me donne donc
$C_{n+1}$ = cos(nx)sin(nx) + sin(x)cos(2n+1)x le tout sur sin(x)

je me sert de ce que j'ai démontré en 2) pour dire

= cos(nx)sin(nx) + sin(n+1)cos(n+1) + sin(-nx)cos(-nx) le tout sur sin(x)

Est-ce que j'ai le droit de simplifier et de dire :

= sin(n+1)cos(n+1)/sin(x) ??? Ce terminerai la démonstration.

on va ré-écrire ça en LaTeX pour y voir plus clair

$cn+1=cos⁡(nx)sin⁡(nx)+sin⁡(x)cos⁡[(2n+1)x]sin⁡(x)c_{n+1} = \frac{\cos(nx)\sin(nx) + \sin(x)\cos[(2n+1)x]}{\sin(x)}$

dont voici le code, pour information
C_{n+1} = \frac{\cos(nx)\sin(nx) + \sin(x)\cos[(2n+1)x]}{\sin(x)}

et $cn+1=cos⁡(nx)sin⁡(nx)+sin⁡(n+1)cos⁡(n+1)+sin⁡(−nx)cos⁡(−nx)sin⁡(x)c_{n+1} = \frac{\cos(nx)\sin(nx) + \sin(n+1)\cos(n+1) + \sin(-nx)\cos(-nx)}{\sin(x)}$

La simplifiaction tient aux propriétés :

d'une part d'imparité du sinus, qui dit que sin(-nx) = - sin(nx)
et d'autre part de parité du cosinus, qui dit que cos(-nx) = cos(nx).

Donc tout ceci ce simplifie

$cn+1=cos⁡(nx)sin⁡(nx)+sin⁡(x)cos⁡[(2n+1)x]sin⁡(x)c_{n+1} = \frac{\cos(nx)\sin(nx) + \sin(x)\cos[(2n+1)x]}{\sin(x)}$
$cn+1=cos⁡(nx)sin⁡(nx)−sin⁡(nx)cos⁡(nx)+cos⁡(n+1)xsin⁡(n+1)xsin⁡(x)c_{n+1} = \frac{\cos(nx)\sin(nx) - \sin(nx)\cos(nx) + \cos(n+1)x\sin(n+1)x}{\sin(x)}$
$cn+1=cos⁡(n+1)sin⁡(n+1)sin⁡(x)c_{n+1} = \frac{\cos(n+1)\sin(n+1)}{\sin(x)}$

et j'ai donc démontré l'hérédité ?