Etudier une suite récurrente avec racine de 2

slt tout le monde!
voila j'ai un dm de math à faire sur les fonctions et j'arrive pas à démarrer

Soit f la fonction définie sur l'intervalle o plus l'infini ouvert par f(x)=1/2x+1/x

*après mûres réflexions on peut modifier l'expression de f(x) - modifié par Zorro *

$\frac{1}{2}x + \frac{1}{x}$

et u est la suite définie par $u_0$ =2
pour tout n, $U$ _{n+1} $f(U_n$ )

1. Etude de la fonction

a.dresser le tableau de variation de la fonction f
b. C est la courbe représentative ds le plan muni d'un repere orthonrmal
il faut montrer que C admet deux droites asymptotes dont on doit donner les equations
(là j'ai un probleme je ne sais plus du tout comment faire)
c. tracer la courbe

2. Etude de la convergence de la suite $U_n$

a. montrer que pour tout entier naturel n on a √2 strictement inférieur à $U_{n+1}$ lui meme strictement inférieur à $U_n$
b. déduire que la suite u est convergente vers un réel L
(alors la je crois qu'il faut dire qu'elle est minorée et décroissante et donc qu'elle tend vers un réel L, c'est cela??)
c. Montrer que f(L)=L et calculer L

3. Etude de la rapidité de convergence de la suite u ( alors ca je n'y ai jamais fait)
a. verifier que pour tout entier naturel n,
$U_{n+1}$ -√2= $U_n$ -√2)² $2U_n$ )
b. montrer que $1/(2U_n$ ) ≤ 1/2, en déduire que pour tout n ∈ a N, 0 ≤ $U_{n+1}$ - √2 ≤ $1/2(U_n$ -√2)²
c. montrer que pour tout entier n ∈ N, 0 ≤ $U_n$ -√2 ≤ $(1 / 2)$ ^{A_n$}$ avec $A_n$ = $2^{n-1}$
d. donner un encadrement de $U_6$ -√2

voila
j'ai vraiment besoin d'aide s'il vous plait
merci d'avance

Edit de J-C: j'ai modifié l'expression du 3) qui posait des problèmes d'affichage (certains lisant $U_n$ √2 au lieu de $U_{n+1}$ -√2, tout le monde s'embrouillait).

salut mandy

je suppose que $\frac1{2x}+\frac1x$

1a

cette fonction est de façon générale définie sur R-{0}.

pour les variations de f, il suffit de savoir que 1/(2x) et 1/x sont toutes deux décroissantes sur $strong>R</strong>^+$ ainsi que sur $strong>R</strong>^-$ : f est donc décroissante sur les deux branches de son ensemble de définition. Ici, seul ]0 ; +∞[ est attendu.

1b

il y a une limite infinie lorsque x tend vers 0 et une limite nulle lorsque x tend vers +∞ : donc deux asymptotes, la première verticale (x=0), la seconde horizontale (y=0).

mais il faut pas calculer la dérivée de la fonction pour faire le tableau dans le 1a??
sinon pour les asymptotes j'ai bien compris ce que tu m'as dit mais j'explique comment dans mon devoir?
je ne peux pas balancer sa comme ca non?

et pour les équations des asymptotes je ne sias plus du tout comment on les calclue
de plus je ne retoruve aps mes cours de l'an derneir
lol

re.

la dérivée n'est pas indispensable pour trouver les variations : ce n'est qu'un outils (parmi d'autres) qui permet de les trouver.

réfléchis : si une quantité q est décroissant et si une qutre quantité Q est aussi décroissante sur le même intervalle, alors leur somme q + Q sera aussi décroissante, non ?

voici comment faire pour les asymptotes : puisque f est définie sur ]0 ; +∞[, la question se pose aux bornes de cet intervalle.

d'une part, on a $lim⁡x→0+f(x)=⋯=+∞\lim_{x\to 0^+} f(x) = \cdots = +\infty$ (je te laisse compléter les trous) ce qui implique que la droite d'équation x=0 est asymptote "verticale" à la courbe de f

d'autre part, on a $lim⁡x→+∞f(x)=⋯=0\lim_{x\to +\infty} f(x) = \cdots = 0$ , ce qui implique que la droite d'équation y=0 est asymptote "horizontale" à la courbe de f.

ok pour ca
dans les petits trous en fait je recopie juste1/2x+1/x??
sinon pour les équations de ces droites
je ne sias plus du tout comment on fait
enfin....
et pour tracer C??
sinon jusque la je te suis a 100 pour cetn
merci

ah oui un autre truc aussi
à la place de R+ et R-
je peux pas écrire intervalle ??
R+ c'est bien R privé de 0 R- c'est R privé de 1??
ou c'est l'inverse??

que d'horreurs... l'été t'a nuit, on dirait.

$strong>R</strong>^+$ = [0 ; + ∞[

$strong>R</strong>^{+*}$ = ]0 ; + ∞[

dans les pointillés, tu expliques pourquoi la limite est ce que j'ai dit.

je t'ai donné les équations des droites.

ok
c'est bon pour cela
ensuite pour expliquer les pointillés je fais comment??
si on pour la suite
tu peux me donner un petit coup de main ossi stp?
merci beaucoup

donc voila
apres avoir tracer la courbe
je peux passer au 2
c'est a dire
montrer que la racine de 2 est plus petite que Un+1 lui meme inférieur à Un
?????

Avec $f(x)=12x+1xf(x)=\frac1{2x}+\frac1x$ et $u_{n+1} = f(u_n)$ à partir de $u_0 =2$ , montrons que

$2≺un+1≺un\sqrt2 \prec u_{n+1} \prec u_n$

Attention: il faut que tu confirmes que la fonction que j'écris est la bonne et que ce n'est pas plutôt par exemple $f(x)=12(x+1x)f(x)=\frac1{2}\big(x+\frac1x\big)$ ou bien $f(x)=12x+1xf(x)=\frac1{2}x+\frac1x$ sinon, on parle dans le vent...

La décroissance de f montre déjà le seconde inégalité par réccurence ; car si $un≺un−1u_{n} \prec u_{n-1}$ alors en appliquant f aux deux membres, on obtient bien $un+1=f(un)≺f(un−1=unu_{n+1} = f(u_n) \prec f(u_{n-1} = u_n$ .
Ah il faudrait aussi voir que ça marche entre U_1 et U_0 pour fonder la récurrence...

ok je vois tres bien
ici
on prend f(x)= 1/2 x +1/2
mais je vois pas pourquoi tu m'as parlé de f(x)= 1/2(x+1/x) cette égalité ne va pas non??
et j'ai vérigié aussi que cela marche bien pour U1 et U0
ensuite...
euh....

ya jutse un truc que je ne vois pas
c'est en fait Uo=2 mais en remplacant les x par 0, je ne retombe pas sur U0=2
De meme pour U1
J'ai remplacé dans f(x)=1/2x+1/x par 0 la premiere fois
et j'ai du mal faire car je n'obtient pas U0=2
C'est normal ou c'est que j'ai fait une erreur de calcul?

Zauctore te signalait que l'écriture que tu as utilisée est ambigüe !

Il te demandait dans sa premère réponse si la forme qu'il avait écrite était la bonne ! Or il n'a toujours pas la réponse ; donc il continue de te demander si la forme qu'il utilise est la bonne.

Relis un peu toutes les réponses !

ah ok zorro
j'avias pas capté
merci
c'est la deuxieme qui est la bonne
voila

on est donc bien daccord je remplace ton expression par

$\frac{1}{2}x + \frac{1}{x}$

voila c'ets tout à fait ca
on est d'accord

et ensuite, comment je m'y pred pour la suite??

Où tu en es ?? Maintenant qu'on connait la véritable expression de f(x) , on peut essayer de t'aider mais faut savoir ce que as réussi !

ben fo ke je fasse ma courbe
mais ca c'est bon
donc on peu passer au 2
la je ne vois vraiemnt pas la récurrence à démontrer en fait

Tu oublies le langage SMS ... je suis allergique !

Pour la fonction, ce que tu trouves par les calculs a été vérifié en utilisant la représentation graphique de la fonction sur ta calculatrice !

Donc je regarde la question 2 !

ok
ok

mais pour les calculs, c'ets lesquels qui'l faut entrer sur la calculette,?
la je suis pomé
lol

On va donc démontrer par récurrence que √2 < $U_{n+1}$ < $U_n$

Tu arrives à montrer que c'est vrai pour n = 0 c'est à dire que √2 < $U_1$ < $U_0$
Il suffit de calculer $U_1$

Maintenant on prend comme hypothèse que √2 < $U_{n+1}$ < $U_n$ et on va démontrer que cette relation est vraie au rang n+1 c'est à dire qu'il faut montrer que
√2 < $U_{n+2}$ < $U_{n+1}$

Donc on part de
√2 < $U_{n+1}$ < $U_n$
et $U_{n+1}$ = $f(U_n$ )
et $U_{n+2}$ = $f(U_{n+1}$ )

On sait que la fonction f est croissante sur [√2 ; +∞[
donc si √2 < $U_{n+1}$ < $U_n$

alors f(√2) < $f(U_{n+1}$ ) < $f(U_n$ )

donc f(√2) < $U_{n+2}$ < $U_{n+1}$

Donc tu dois pouvoir conclure

dc la je conclue en disant ke la récurece est démontré et que √2<Un+1<Un
c'est cela,

On sait donc que √2 < $U_{n+1}$ < $U_n$ on en déduit donc 2 choses :

La suite $U_n$ est croissante ou décroissante ?

La suite $U_n$ est majorée ou minorée ?

Donc en fonction des réponses que peux tu conclure sur la convergence de $U_n$ ?

On voit la 3) quand tu auras avancé la 2) !

et bien, Un est croissante et majorée donc elle est convergente vers un réel L
c'est ca?

mandinette
dc la je conclue en disant ke la récurece est démontré et que √2<Un+1<Un
c'est cela,

cela ne veut rien dire ... tu as répondu trop vite

il te reste f(√2) à calculer et à finir la démonstration

P.S. oublie le langage SMS (pour la 2ème fois !)

mandinette
et bien, Un est croissante et majorée donc elle est convergente vers un réel L
c'est ca?

en effet

comment prouver qu'elle estc roissante, enfin jveux dire comment bien rédiger?
pour la suite
j'aimerai bien finir le petit2
et on fera le 3 demain si sate gene pas,?

bin tu as montré que √2 < $U_{n+1}$ < $U_n$

donc $U_{n+1}$ < $U_n$ donc $U_n$ est ?????

ok
merci beaucoup
bon je te dis a demain alors
merci bcp

Pour la 3) je me demande s'il n'y a pas une erreur d'énoncé parce que je trouve

$(un−2)22un=(un)2−22un+22un=(un)22un−22un2un+22un=a\frac{(u_n -\sqrt{2})^2} {2 u_n } = \frac{ (u_n)^2 - 2\sqrt{2}u_n +2 }{2 u_n } = \frac{(u_n)^2 }{2 u_n } - \frac{2\sqrt{2}u_n }{2 u_n } +\frac{2}{2 u_n } = a$

$\frac{1}{2}u_n -\sqrt{2}+\frac{1}{u_n} = \frac{1}{2}u_n+\frac{1}{u_n} -\sqrt{2} = u_{n+1} -\sqrt{2}$

il faudrait donc montrer que $un+1−2=2unu_{n+1} -\sqrt{2} = \sqrt{2}u_n$ !!!

je vais me déconnecter ... on verra demain, si j'ai le temps de passer par là !

et bien, c'est ce qu'il fallait démontrer que Un+1-√2=(Un-√2)²/2Un

ar contre pour démontrer que Un+1-√2= √2Un
je ne vois pas pourquoi ni comment
et sinon, on na pas fait la question c du petit 2 a savoir que montrer que f(L)=L
et calculer L
merci

Pour la limite on a √2 < $U_{n+1}$ < $U_n$

On en a déduit que $U_n$ est une suite qui converge vers L (je l'écrirais $U_{n+1}$ → L)

$U_{n+1}$ → L or $U_n$ ∈ [√2 , +∞[ sur le quel f est définie et continue donc

$f(U_n$ ) → f(L)

donc $U_{n+1}$ → f(L)

or $U_{n+1}$ → L

donc f(L) = L

Il ne reste plus qu'à résoudre $12l+1l=l\frac{1}{2} l +\frac{1}{l} = l$

et tu dois trouver L = √2 ou L = -√2 or ici seule la solution positive convient à cause de l'intervalle où on travaille

mandinette
et bien, c'est ce qu'il fallait démontrer que Un+1 - √2 = (Un-√2)²/2Un

ar contre pour démontrer que Un√2= √2Un
je ne vois pas pourquoi ni comment
et sinon, on na pas fait la question c du petit 2 a savoir que montrer que f(L)=L
et calculer L
merci

J'ai donc bien réussi à montrer que $U_{n+1}$ - √2 = $U_n$ - √2)² / $2U_n$

J'avais juste mis la suite parce que, chez moi, je ne sais pas pourquoi ton expression apparait comme Un√2=(Un-√2)²/2Un . donc dans ce cas la je me posais la question sur la vraie expression à démontrer. Oublie donc mon √ $2U_n$ cela ne sert à rien

Question suis-je la seule à voir Un√2 = (Un - √2)² / 2Un ?

Ou voyez vous Un+1 -√2 = (Un - √2)² / 2Un ?

Je n'ai vu cette expression qu'en passant par la citation du message de mandinette. Moi je ne vois pas le +1 ni le moins devant √2 dans l'expression de gauche !

ok j'oublie tout cela
et par contre, j'ai toujours pas démointrer que f(L)=L et calculer L
merci

Relis ma réponse 10h59 !!!

ok
je suis déslé j'avais pas vu
en tout cas
merci
il me reste plus que la question b c et d du 3
et j'en aurais finie