Problème : suite récurrente pour racine de 2



  • slt tout le monde!
    voila j'ai un dm de math à faire sur les fonctions et j'arrive pas à démarrer

    Soit f la fonction définie sur l'intervalle o plus l'infini ouvert par f(x)=1/2x+1/x

    *après mûres réflexions on peut modifier l'expression de f(x) - modifié par Zorro *

    f(x)=12x+1xf(x) = \frac{1}{2}x + \frac{1}{x}

    et u est la suite définie par u0u_0=2
    pour tout n, UU_{n+1}=f(Un=f(U_n)

    1. Etude de la fonction

    a.dresser le tableau de variation de la fonction f
    b. C est la courbe représentative ds le plan muni d'un repere orthonrmal
    il faut montrer que C admet deux droites asymptotes dont on doit donner les equations
    (là j'ai un probleme je ne sais plus du tout comment faire)
    c. tracer la courbe

    2. Etude de la convergence de la suite UnU_n

    a. montrer que pour tout entier naturel n on a √2 strictement inférieur à Un+1U_{n+1} lui meme strictement inférieur à UnU_n
    b. déduire que la suite u est convergente vers un réel L
    (alors la je crois qu'il faut dire qu'elle est minorée et décroissante et donc qu'elle tend vers un réel L, c'est cela??)
    c. Montrer que f(L)=L et calculer L

    3. Etude de la rapidité de convergence de la suite u ( alors ca je n'y ai jamais fait)
    a. verifier que pour tout entier naturel n,
    Un+1U_{n+1}-√2= (Un(U_n-√2)²/(2Un/(2U_n)
    b. montrer que 1/(2Un1/(2U_n) ≤ 1/2, en déduire que pour tout n ∈ a N, 0 ≤ Un+1U_{n+1} - √2 ≤ 1/2(Un1/2(U_n-√2)²
    c. montrer que pour tout entier n ∈ N, 0 ≤ UnU_n-√2 ≤ (1/2)(1/2)^{A_n$}$ avec AnA_n= 2n12^{n-1}
    d. donner un encadrement de U6U_6-√2

    voila
    j'ai vraiment besoin d'aide s'il vous plait
    merci d'avance

    Edit de J-C: j'ai modifié l'expression du 3) qui posait des problèmes d'affichage (certains lisant UnU_n√2 au lieu de Un+1U_{n+1}-√2, tout le monde s'embrouillait).



  • salut mandy

    je suppose que f(x)=12x+1xf(x) = \frac1{2x}+\frac1x

    1a

    cette fonction est de façon générale définie sur R-{0}.

    pour les variations de f, il suffit de savoir que 1/(2x) et 1/x sont toutes deux décroissantes sur <strong>R</strong>+<strong>R</strong>^+ ainsi que sur <strong>R</strong><strong>R</strong>^- : f est donc décroissante sur les deux branches de son ensemble de définition. Ici, seul ]0 ; +∞[ est attendu.

    1b

    il y a une limite infinie lorsque x tend vers 0 et une limite nulle lorsque x tend vers +∞ : donc deux asymptotes, la première verticale (x=0), la seconde horizontale (y=0).



  • mais il faut pas calculer la dérivée de la fonction pour faire le tableau dans le 1a??
    sinon pour les asymptotes j'ai bien compris ce que tu m'as dit mais j'explique comment dans mon devoir?
    je ne peux pas balancer sa comme ca non?



  • et pour les équations des asymptotes je ne sias plus du tout comment on les calclue
    de plus je ne retoruve aps mes cours de l'an derneir
    lol



  • re.

    la dérivée n'est pas indispensable pour trouver les variations : ce n'est qu'un outils (parmi d'autres) qui permet de les trouver.

    réfléchis : si une quantité q est décroissant et si une qutre quantité Q est aussi décroissante sur le même intervalle, alors leur somme q + Q sera aussi décroissante, non ?

    voici comment faire pour les asymptotes : puisque f est définie sur ]0 ; +∞[, la question se pose aux bornes de cet intervalle.

    d'une part, on a limx0+f(x)==+\lim_{x\to 0^+} f(x) = \cdots = +\infty (je te laisse compléter les trous) ce qui implique que la droite d'équation x=0 est asymptote "verticale" à la courbe de f

    d'autre part, on a limx+f(x)==0\lim_{x\to +\infty} f(x) = \cdots = 0, ce qui implique que la droite d'équation y=0 est asymptote "horizontale" à la courbe de f.



  • ok pour ca
    dans les petits trous en fait je recopie juste1/2x+1/x??
    sinon pour les équations de ces droites
    je ne sias plus du tout comment on fait
    enfin....
    et pour tracer C??
    sinon jusque la je te suis a 100 pour cetn
    merci



  • ah oui un autre truc aussi
    à la place de R+ et R-
    je peux pas écrire intervalle ??
    R+ c'est bien R privé de 0 R- c'est R privé de 1??
    ou c'est l'inverse??



  • que d'horreurs... l'été t'a nuit, on dirait.

    <strong>R</strong>+<strong>R</strong>^+ = [0 ; + ∞[

    <strong>R</strong>+<strong>R</strong>^{+*} = ]0 ; + ∞[

    dans les pointillés, tu expliques pourquoi la limite est ce que j'ai dit.

    je t'ai donné les équations des droites.



  • ok
    c'est bon pour cela
    ensuite pour expliquer les pointillés je fais comment??
    si on pour la suite
    tu peux me donner un petit coup de main ossi stp?
    merci beaucoup



  • donc voila
    apres avoir tracer la courbe
    je peux passer au 2
    c'est a dire
    montrer que la racine de 2 est plus petite que Un+1 lui meme inférieur à Un
    ?????



  • Avec f(x)=12x+1xf(x)=\frac1{2x}+\frac1x et un+1=f(un)u_{n+1} = f(u_n) à partir de u0=2u_0 =2, montrons que

    2un+1un\sqrt2 \prec u_{n+1} \prec u_n

    Attention: il faut que tu confirmes que la fonction que j'écris est la bonne et que ce n'est pas plutôt par exemple f(x)=12(x+1x)f(x)=\frac1{2}\big(x+\frac1x\big) ou bien f(x)=12x+1xf(x)=\frac1{2}x+\frac1x sinon, on parle dans le vent...

    La décroissance de f montre déjà le seconde inégalité par réccurence ; car si unun1u_{n} \prec u_{n-1} alors en appliquant f aux deux membres, on obtient bien un+1=f(un)f(un1=unu_{n+1} = f(u_n) \prec f(u_{n-1} = u_n.
    Ah il faudrait aussi voir que ça marche entre U_1 et U_0 pour fonder la récurrence...



  • ok je vois tres bien
    ici
    on prend f(x)= 1/2 x +1/2
    mais je vois pas pourquoi tu m'as parlé de f(x)= 1/2(x+1/x) cette égalité ne va pas non??
    et j'ai vérigié aussi que cela marche bien pour U1 et U0
    ensuite...
    euh....



  • ya jutse un truc que je ne vois pas
    c'est en fait Uo=2 mais en remplacant les x par 0, je ne retombe pas sur U0=2
    De meme pour U1
    J'ai remplacé dans f(x)=1/2x+1/x par 0 la premiere fois
    et j'ai du mal faire car je n'obtient pas U0=2
    C'est normal ou c'est que j'ai fait une erreur de calcul?



  • Zauctore te signalait que l'écriture que tu as utilisée est ambigüe !

    Il te demandait dans sa premère réponse si la forme qu'il avait écrite était la bonne ! Or il n'a toujours pas la réponse ; donc il continue de te demander si la forme qu'il utilise est la bonne.

    Relis un peu toutes les réponses !



  • ah ok zorro
    j'avias pas capté
    merci
    c'est la deuxieme qui est la bonne
    voila



  • on est donc bien daccord je remplace ton expression par

    f(x)=12x+1xf(x) = \frac{1}{2}x + \frac{1}{x}



  • voila c'ets tout à fait ca
    on est d'accord



  • et ensuite, comment je m'y pred pour la suite??



  • Où tu en es ?? Maintenant qu'on connait la véritable expression de f(x) , on peut essayer de t'aider mais faut savoir ce que as réussi !



  • ben fo ke je fasse ma courbe
    mais ca c'est bon
    donc on peu passer au 2
    la je ne vois vraiemnt pas la récurrence à démontrer en fait



  • Tu oublies le langage SMS ... je suis allergique !

    Pour la fonction, ce que tu trouves par les calculs a été vérifié en utilisant la représentation graphique de la fonction sur ta calculatrice !

    Donc je regarde la question 2 !



  • ok
    ok



  • mais pour les calculs, c'ets lesquels qui'l faut entrer sur la calculette,?
    la je suis pomé
    lol



  • On va donc démontrer par récurrence que √2 < Un+1U_{n+1} < UnU_n

    Tu arrives à montrer que c'est vrai pour n = 0 c'est à dire que √2 < U1U_1 < U0U_0
    Il suffit de calculer U1U_1

    Maintenant on prend comme hypothèse que √2 < Un+1U_{n+1} < UnU_n et on va démontrer que cette relation est vraie au rang n+1 c'est à dire qu'il faut montrer que
    √2 < Un+2U_{n+2} < Un+1U_{n+1}

    Donc on part de
    √2 < Un+1U_{n+1} < UnU_n
    et Un+1U_{n+1} = f(Unf(U_n)
    et Un+2U_{n+2} = f(Un+1f(U_{n+1})

    On sait que la fonction f est croissante sur [√2 ; +∞[
    donc si √2 < Un+1U_{n+1} < UnU_n

    alors f(√2) < f(Un+1f(U_{n+1}) < f(Unf(U_n)

    donc f(√2) < Un+2U_{n+2} < Un+1U_{n+1}

    Donc tu dois pouvoir conclure



  • dc la je conclue en disant ke la récurece est démontré et que √2<Un+1<Un
    c'est cela,



  • On sait donc que √2 < Un+1U_{n+1} < UnU_n on en déduit donc 2 choses :

    La suite UnU_n est croissante ou décroissante ?

    La suite UnU_n est majorée ou minorée ?

    Donc en fonction des réponses que peux tu conclure sur la convergence de UnU_n ?

    On voit la 3) quand tu auras avancé la 2) !



  • et bien, Un est croissante et majorée donc elle est convergente vers un réel L
    c'est ca?



  • mandinette
    dc la je conclue en disant ke la récurece est démontré et que √2<Un+1<Un
    c'est cela,

    cela ne veut rien dire ... tu as répondu trop vite

    il te reste f(√2) à calculer et à finir la démonstration

    P.S. oublie le langage SMS (pour la 2ème fois !)



  • mandinette
    et bien, Un est croissante et majorée donc elle est convergente vers un réel L
    c'est ca?

    en effet



  • comment prouver qu'elle estc roissante, enfin jveux dire comment bien rédiger?
    pour la suite
    j'aimerai bien finir le petit2
    et on fera le 3 demain si sate gene pas,?


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