DM limites et continuité



  • Bonjour
    j'ai un DM pour mardi et j'ai un problème. Voici l'énoncé :

    f est la fonction définie sur R par :

    f(x)=x+4x21f(x)=x+\sqrt{|4x^2-1|}
    et C est sa courbe représentative dans un repère.

    1. Préciser les limites de f en +∞ et en -∞.

    2. a) Calculer la limite en +∞ de (f(x)-3x)

    b) Calculer la limite en -∞ de (f(x)+x)

    3.a) Déduisez en que C admet 2 asymptotes obliques (d1(d_1) et (d2(d_2). Donnez pour chacune une équation.

    b) Etudiez la position de C par rapport a chacune de ses asymptotes obliques.

    La seule chose que je ne comprend pas c'est comment me débarasser de la valeur absolue.

    Mon prof nous a donné ces indications :

    f(x)=x+√(l4x²-1l)
    √A²=lAl
    x≤-1/2
    x≤-B
    x+√(4x²(1-1/(4x²))=x+√(4x²)√(1-1/(4x²))
    √(4x²)⇔l2xl
    =x-2x√(1-1/(4x²)

    Je n'ai pas compris. Pourriez-vous m'aider s'il vous plait?
    Merci d'avance.



  • Je m'occupe des "indications" :

    f(x)=x+√(l4x²-1l)

    c'est la définition de f

    √A²=lAl

    propriété à connaître du carré vis-à-vis de la racine carrée : les deux se "compensent" rendant un résultat positif (pense à √(-9) = 3 = √9).

    x ≤ -1/2

    précaution sans doute pour que 4x²-1 soit de signe +

    x ≤ -B

    là je ne sais pas (qu'est B ?)

    $x+\sqrt{4x^2\left(1-\frac1{4x^2}\right)} =x+\sqrt{4x^2}\sqrt{\left(1-\frac1{4x^2}\right)$

    factorisation par 4x² et utilisation de la propriété de multiplicativité de la racine carrée

    √(4x²) = l2xl

    c'est la propriété à connaître mentionnée ci-dessus et donc si x est négatif comme demandé un peu plus haut, alors √(4x²) = l2xl = -2x.

    $f(x) = x-2x\sqrt{\left(1-\frac1{4x^2}\right)$

    achèvement des calculs en tenant compte de ce qui précède.

    Tout ça, c'est pour l'asymptote vers -∞.



  • Si x est positif alors √(4x²)=l2xl=2x

    donc f(x)=x+2x√(1-1/(4x²)) pour l'asymptote en +∞.

    Est-ce bien ça? Merci


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