Etude limites et asymptotes d'une fonction avec racine et valeur absolue

Bonjour
j'ai un DM pour mardi et j'ai un problème. Voici l'énoncé :

f est la fonction définie sur R par :

$f(x)=x+∣4x2−1∣f(x)=x+\sqrt{|4x^2-1|}$
et C est sa courbe représentative dans un repère.

1. Préciser les limites de f en +∞ et en -∞.

2. a) Calculer la limite en +∞ de (f(x)-3x)

b) Calculer la limite en -∞ de (f(x)+x)

3.a) Déduisez en que C admet 2 asymptotes obliques $d_1$ ) et $d_2$ ). Donnez pour chacune une équation.

b) Etudiez la position de C par rapport a chacune de ses asymptotes obliques.

La seule chose que je ne comprend pas c'est comment me débarasser de la valeur absolue.

Mon prof nous a donné ces indications :

f(x)=x+√(l4x²-1l)
√A²=lAl
x≤-1/2
x≤-B
x+√(4x²(1-1/(4x²))=x+√(4x²)√(1-1/(4x²))
√(4x²)⇔l2xl
=x-2x√(1-1/(4x²)

Je n'ai pas compris. Pourriez-vous m'aider s'il vous plait?
Merci d'avance.

Je m'occupe des "indications" :

f(x)=x+√(l4x²-1l)

c'est la définition de f

√A²=lAl

propriété à connaître du carré vis-à-vis de la racine carrée : les deux se "compensent" rendant un résultat positif (pense à √(-9) = 3 = √9).

x ≤ -1/2

précaution sans doute pour que 4x²-1 soit de signe +

x ≤ -B

là je ne sais pas (qu'est B ?)

$x+\sqrt{4x^2\left(1-\frac1{4x^2}\right)} =x+\sqrt{4x^2}\sqrt{\left(1-\frac1{4x^2}\right)$

factorisation par 4x² et utilisation de la propriété de multiplicativité de la racine carrée

√(4x²) = l2xl

c'est la propriété à connaître mentionnée ci-dessus et donc si x est négatif comme demandé un peu plus haut, alors √(4x²) = l2xl = -2x.

$f(x) = x-2x\sqrt{\left(1-\frac1{4x^2}\right)$

achèvement des calculs en tenant compte de ce qui précède.

Tout ça, c'est pour l'asymptote vers -∞.

Si x est positif alors √(4x²)=l2xl=2x

donc f(x)=x+2x√(1-1/(4x²)) pour l'asymptote en +∞.

Est-ce bien ça? Merci