Fonctions Dm IMPASSE...

fest une fonction définie sur [0;+∞[ par:

f(x)=√(1+x)-√(x)

1.Vériffiez que pour tout réel x≥0:

f(x)=
1
√(1+x)+√(x)
2.Déduisez en que pour tout réel x≥0 :
1≤f(x)≤
1
2√(x+1) 2√(x)
3.La fonction f a-t-elle une limite en +∞?

Merci de ma'aider je ne comprends pas du tout le contenu de cet exercice et c'est pour demain en plus ...

c'est pourtant d'un niveau strictement inférieur à la TS

connais-tu l'expression conjuguée ?

c'est ce qui permet de passer de $1+x−x\sqrt{1+x}-\sqrt x$ à $11+x+x\frac1{\sqrt{1+x}+\sqrt x}$ .

L'encadrement $12x+1≤f(x)≤12x\frac1{2\sqrt{x+1}} \leq f(x) \leq \frac1{2\sqrt x}$ en découle, en remarquant que

$2x+1≥1+x+x2\sqrt{x+1}\geq \sqrt{1+x}+\sqrt x$
et que
$2x≤1+x+x2\sqrt{x}\leq \sqrt{1+x}+\sqrt x$
sont des inégalités tjs vraies.

Pour la limite, il suffit de savoir vers quoi tendent les quotients en +∞.

oui cela j'avai compris mais comment arriver a ces differentes expressions par quoi faut il multiplier $1+x−x\sqrt{1+x}-\sqrt x$ pour passer a $11+x+x\frac1{\sqrt{1+x}+\sqrt x}$ et quelle est la méthode qui permet de montrer que l'encadrement est verrifié ???

titix62
comment arriver a ces differentes expressions par quoi faut il multiplier $1+x−x\sqrt{1+x}-\sqrt x$ pour passer a $11+x+x\frac1{\sqrt{1+x}+\sqrt x}$

EXPRESSION CONJUGUEE

t'as déjà entendu ce vocable, sauf à pas être allé en cours :

tu multiplies $a−b\sqrt a - \sqrt b$ par $a+ba+b\frac{\sqrt a + \sqrt b}{\sqrt a + \sqrt b}$ .

Pour le reste, j'ai répondu.

Merci j'ai reussi a faire la premiere question mais fugurez vous que sur mon cours les encadrements commencent toujours avec sinus x donc on sait qu'il est compri entre -1 et 1 mais sur cet exemple je ne comprends pas de quoi il faut partir pour arriver a

1 ≤f(x)≤ 1
2√(x+1) 2√(x) de quoi il faut partir dans f(x) de √x ???

Je te montre :

tu sais que $\frac1{\sqrt{x+1}+\sqrt x}$

or il est CLAIR que $2x≤x+1+x≤2x+12\sqrt x \quad \leq\quad \sqrt{x+1}+\sqrt x \quad\leq \quad 2\sqrt{x+1}$

donc en passant à l'inverse (changement d'ordre), on obtient

$12x+1≤1x+1+x≤12x\frac1{2\sqrt{x+1}} \quad \leq\quad \frac1{\sqrt{x+1}+\sqrt x} \quad\leq\quad \frac1{2\sqrt{x}}$

cqfd