Fonctions Dm IMPASSE...


  • T

    fest une fonction définie sur [0;+∞[ par:

    f(x)=√(1+x)-√(x)

    1.Vériffiez que pour tout réel x≥0:

    f(x)=
    1
    √(1+x)+√(x)
    2.Déduisez en que pour tout réel x≥0 :
    1≤f(x)≤
    1
    2√(x+1) 2√(x)
    3.La fonction f a-t-elle une limite en +∞?

    Merci de ma'aider je ne comprends pas du tout le contenu de cet exercice et c'est pour demain en plus ... 😲


  • Zauctore

    c'est pourtant d'un niveau strictement inférieur à la TS

    connais-tu l'expression conjuguée ?

    c'est ce qui permet de passer de 1+x−x\sqrt{1+x}-\sqrt x1+xx à 11+x+x\frac1{\sqrt{1+x}+\sqrt x}1+x+x1.

    L'encadrement 12x+1≤f(x)≤12x\frac1{2\sqrt{x+1}} \leq f(x) \leq \frac1{2\sqrt x}2x+11f(x)2x1 en découle, en remarquant que

    2x+1≥1+x+x2\sqrt{x+1}\geq \sqrt{1+x}+\sqrt x2x+11+x+x
    et que
    2x≤1+x+x2\sqrt{x}\leq \sqrt{1+x}+\sqrt x2x1+x+x
    sont des inégalités tjs vraies.

    Pour la limite, il suffit de savoir vers quoi tendent les quotients en +∞.


  • T

    oui cela j'avai compris mais comment arriver a ces differentes expressions par quoi faut il multiplier 1+x−x\sqrt{1+x}-\sqrt x1+xx pour passer a 11+x+x\frac1{\sqrt{1+x}+\sqrt x}1+x+x1et quelle est la méthode qui permet de montrer que l'encadrement est verrifié ???


  • Zauctore

    titix62
    comment arriver a ces differentes expressions par quoi faut il multiplier 1+x−x\sqrt{1+x}-\sqrt x1+xx pour passer a 11+x+x\frac1{\sqrt{1+x}+\sqrt x}1+x+x1

    EXPRESSION CONJUGUEE

    t'as déjà entendu ce vocable, sauf à pas être allé en cours :

    tu multiplies a−b\sqrt a - \sqrt bab par a+ba+b\frac{\sqrt a + \sqrt b}{\sqrt a + \sqrt b}a+ba+b.

    Pour le reste, j'ai répondu.


  • T

    Merci j'ai reussi a faire la premiere question mais fugurez vous que sur mon cours les encadrements commencent toujours avec sinus x donc on sait qu'il est compri entre -1 et 1 mais sur cet exemple je ne comprends pas de quoi il faut partir pour arriver a

    1 ≤f(x)≤ 1
    2√(x+1) 2√(x) de quoi il faut partir dans f(x) de √x ???


  • Zauctore

    Je te montre :

    tu sais que f(x)=1x+1+xf(x) = \frac1{\sqrt{x+1}+\sqrt x}f(x)=x+1+x1

    or il est CLAIR que 2x≤x+1+x≤2x+12\sqrt x \quad \leq\quad \sqrt{x+1}+\sqrt x \quad\leq \quad 2\sqrt{x+1}2xx+1+x2x+1

    donc en passant à l'inverse (changement d'ordre), on obtient

    12x+1≤1x+1+x≤12x\frac1{2\sqrt{x+1}} \quad \leq\quad \frac1{\sqrt{x+1}+\sqrt x} \quad\leq\quad \frac1{2\sqrt{x}}2x+11x+1+x12x1

    cqfd


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