Etude des limites et continuité d'une fonction avec racine et valeur absolue



  • Bonjour,

    pour mardi j'ai un DM et après avoir passé une bonne partie de l'après midi sur cette question je n'ai toujours pas réussi à simplifier l'expression. Voila le début de l'énoncé :

    f est la fonction définie sur Df=R{-1;1} par :

    f(x)= lx+1l + x/(x²-1)

    C est sa courbe réprésentative dans un repère donné.

    1.a) Donnez une écriture de f(x) sans valeur absolue
    b)Etudiez les limites de f aux bornes des intervalles de Df.
    2.a) Exprimez f'(x) et étudiez le signe de f'(x) sur chacun des intervalles de Df.
    b) Dressez le tableau de variation de f.

    Pour le 1.a) j'ai dit que f(x) = √((x+1)²)+x/(x²-1)
    b)Pour les limites pas de problèmes.

    2.a) j'ai dit que, d'après mes formules,

    f'(x)= (2x+2)/(2√(x+1)²)+(x²+1)/((x²-1)²) mais je n'arrive pas a simplifier pour étudier le signe.

    Merci d'avance pour votre aide.



  • Bonsoir,

    il serait peut-être plus simple d'utiliser le définition de lXl

    on sait que si X > o alors lXl = X et si X < o alors lXl = -X

    donc regardons la valeur de lx+1l en fonction du signe de x+1

    Si x+1 > 0 soit x > -1 alors lx+1l = x+1

    Si x+1 < 0 soit x < -1 alors lx+1l = -(x+1) = -x-1

    on peut donc écrire :

    si x<-1 alors f(x) = -(x+1) + x/(x²-1) = ... mettre au même dénominateur et utiliser le fait que (x²-1) = (x+1) (x-1)

    si x>-1 alors f(x) = (x+1) + x/(x²-1) = ... mettre au même dénominateur et utiliser le fait que (x²-1) = (x+1) (x-1)

    Il n'y a plus qu'à touver la dérivée lorsque x<1 puis quand x>1 en utilisant les formes trouvées ci dessus ....

    le signe de chaque dérivée devrait être plus facile à trouver !



  • Merci beaucoup, c'est vrai c'est tout de suite plus simple.


 

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