complexe



  • bonjour j'ai un exercice à faire mais je ne comprend pas trop.
    pour tout complexe z≠-1, on pose:
    Z=2+zbarre/1+zbarre
    z=x+iy et Z=X+iY avec x et y et X et Y des réels
    1.calculer X et Y en fonction de x et y
    2.démontrer que l'ensemble des points m(z) tels que Z soit réel est une droite privée d'un point
    3.démontrer que l'ensemble des points m(z) tels que Z soit imaginaire pur est un cercle privé d'un point


  • Modérateurs

    Salut.

    Ca: "Z=2+zbarre/1+zbarre" ; c'est ça: z=2+z¯1+z¯z=\frac{2+\bar{z}}{1+\bar{z}} ? Parce que sans parenthèses, c'est pas simple de deviner.

    1. Remplace Z et z par leurs expressions en fonction de x, y, X et Y dans l'équation au-dessus. Ensuite, comme 2 nombres complexes sont égaux si et seulement si leurs parties réelles et imaginaires sont égales:

    $\text{soient a, b, c et d des r\acute{e}els, alors : } a+ib=c+id \leftrightarrow \left{ {a=c \ b=d}\right.$

    Tu devrais pouvoir t'en sortir.

    1. Si Z est réel, alors sa partie imaginaire est (?) . Ensuite il faut déterminer quel point manque-t-il (au fait, z≠-1 😉 ).

    2. Et là tu en penses quoi d'après la méthode de la question précédente?

    @+



  • pour 1 je trouve: X=-x-2 et Y=-iy
    mais je ne pense pas que ce soit la bonne réponse car avec ce résultat je n'arrive pas à faire les questions suivantes
    pourriez vous m'aider à voir où est mon erreur s'il vous pllaît
    meri d'avance
    😕



  • Tu n'as pas répondu à Jeet-Chris ! La forme de Z est -elle celle qu'il te propose, bien que tu aies omis de mettre des ( ) dans ton expression et ce qui rend la lecture aléatoire !



  • désolé
    oui il ya des parenthèses
    Z=(2+zbarre)/(1+zbarre)



  • lorsque je remplace z dans Z je dois supprimer les i au dénominateur ou les laisser au dénominateur car moi je les multiplie pour avoir des i² pour ne plus avoir de i au dénominateur
    mais je sais pas par quoi multiplier pour les enlever. Dois-je multiplier par (iy) ou par (1+x+iy) ou par (-1-x+iy). je ne sais pas ce que je dois faire pourriez vous m'aider sil vous plaît
    merci



  • Ton résultat me semble en effet assez faux !

    Que trouves comme expression de Z en fonction de x et y ? Quels calculs as-tu effectués pour touver cela ?



  • Réponse à ta question de 10h54 (pardon je ne l'avais pas vue)

    Au dénominateur tu as (1 + x - iy) pour faire disparaître i au dénominateur il faut multiplier numérateur et dénominateur par (1 + x + iy)



  • merci de m'aider
    j'ai refait mon calcul et cettef ois-ci je trouve:
    z barre=x-iy
    je remplace dans Z et je trouve:
    Z=(2+x-iy)/(1+x-iy)
    Z=(2+x-iy)(iy) / (1+x+iy)(iy)
    Z=(2iy+xiy-y^2) / (iy+xiy-y^2)
    Z=(2iy + 1 - y^2)/ (-y^2)
    soit X=(1-y²)/-y² et Y=2iy/-y²
    je sais pas si c'est bon 😕



  • mon précédent calcul est faux il faut que je le recommence car je ne savais pas qu'il fallait multiplier par 1+x+iy



  • Z=(2iy)/(1iy) ????? et w ??? dans la suite !!! C'est archi faux fais ce que je dis à 11h16



  • maitenant je trouve
    Z=(2 + x - iy)(1+x+iy) / (1 + x - iy)(1+x+iy)
    Z=(x²+y²+2+3x+iy) / (x²+y²+2x+1)
    est ce que c'est bon??



  • Cette fois ci c'est bon. Donc maintnant, tu écris ce complexe avec d'un côté la partie réelle et de l'autre la partie imaginaire.



  • ok d'accoor merci
    alors en sachant que Z=X+iY
    et que Z=(x²+y²+2+3x+iy) / (x²+y²+1+2x)
    alors
    X=(x²+y²+2+3x) /(x²+y²+1+2x)
    et Y=i(y/(x²+y²+1+2x)
    est-cela???
    merci de m'aider



  • Oui c'est juste. A toi de continuer !



  • d'accord merci
    maintenant pour trouver que Z est une droite privée d'un point je résoud le système:Im(Z)=0
    y=0
    x²+y²+2x+1=0 or y=0
    donc
    y=0
    x²+2x+1=0
    je trouve que le point a pour coordonnées (-1,0)
    mais maintenant je bloque pour montrer que Zest un imaginaire pur tel qu'il soit un cercle privé d'un point
    pourriez vous m'aider s'il vous plait



  • je sais que l'équation d'un cercle est
    (x-xr)²+(y-yr)²=R² mais je sais pas si je dois l'utiliser pour répodre à la question



  • pourriez vous m'aider s'il vous plaît
    merci



  • Oh l'énorme faute horrible en terminale S !!!!!

    ab=0, a=0,et,b,,0\frac{a}{b} = 0 , \longleftrightarrow \ a = 0 , et , b, \neq , 0



  • olalala honte sur moi :rolling_eyes:
    mon système vaut ceci alors y=0 et x²+2x+1+y²≠0
    soit y=0 et (x+1)² +y²≠0

    une somme de carrés est nulle si les carrés sont nuls soit
    si y=0 et si x+1≠0 et y≠0 mais parés je fais quoi de ce résultat??



  • Bin les points M de coordonnées (x , y) solutions son tels que y = 0 et x ≠ -1

    Le sujet te guide : ""démontrer que l'ensemble des points m(z) tels que Z soit réel est une droite privée d'un point""

    Tout est dit dans la première ligne de cette réponse.



  • et pour montrer que Z est imaginaire pur tel qu'il soit un cercle privé d'un point
    comment dois-je faire s'il vous plaît



  • Tu appliques ce que tu as vu en 1ère concernant l'équation d'un cercle de centre A de coordonnées (a , b) et de rayon R qui est

    (x - a)2a)^2 + (y - b)2b)^2 - R2R^2 = 0



  • merci je pense que je vais pouvoir trouver la suite toute seule
    merci beaucoup de votre aide
    vous êtes trop sympa



  • De rien



  • j'ai essayé de faire la calcul pour le cercle privé d'un point mais je n'y arrive pas. Voici mon calcul
    X=((x+3/2)²- 9/4 +2 +y²) / (x+1)²+y²)
    mais aprés je ne sais pas ce que je dois faire pourriez vous m'aider s'l vous plaît 😕



  • Pour que ton Z soit imaginaire pur il faut que sa partie réelle soit nulle donc il faut que
    X = 0

    Or X est une fraction donc il faut appliquer ce que je te disais le 15/10 à 12h17

    Donc le dénominateur de X doit être nul ! A toi de modifier son écriture pour arriver à une équation de cercle !

    Pense à la méthode que tu as utilisée en 1ère pour la forme canonique

    x2x^2 + bx = (x + (b/2) )2)^2 - b2b^2

    Le point à exclure est celui dont les coordonnées rendent le dénominateur nul !


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