Effectuer des calculs sur les nombres complexes

bonjour j'ai un exercice à faire mais je ne comprend pas trop.
pour tout complexe z≠-1, on pose:
Z=2+zbarre/1+zbarre
z=x+iy et Z=X+iY avec x et y et X et Y des réels
1.calculer X et Y en fonction de x et y
2.démontrer que l'ensemble des points m(z) tels que Z soit réel est une droite privée d'un point
3.démontrer que l'ensemble des points m(z) tels que Z soit imaginaire pur est un cercle privé d'un point

Salut.

Ca: "Z=2+zbarre/1+zbarre" ; c'est ça: $z=2+zˉ1+zˉz=\frac{2+\bar{z}}{1+\bar{z}}$ ? Parce que sans parenthèses, c'est pas simple de deviner.

Remplace Z et z par leurs expressions en fonction de x, y, X et Y dans l'équation au-dessus. Ensuite, comme 2 nombres complexes sont égaux si et seulement si leurs parties réelles et imaginaires sont égales:

$\text{soient a, b, c et d des r\acute{e}els, alors : } a+ib=c+id \leftrightarrow \left{ {a=c \ b=d}\right.$

Tu devrais pouvoir t'en sortir.

Si Z est réel, alors sa partie imaginaire est (?) . Ensuite il faut déterminer quel point manque-t-il (au fait, z≠-1 ).
Et là tu en penses quoi d'après la méthode de la question précédente?

@+

pour 1 je trouve: X=-x-2 et Y=-iy
mais je ne pense pas que ce soit la bonne réponse car avec ce résultat je n'arrive pas à faire les questions suivantes
pourriez vous m'aider à voir où est mon erreur s'il vous pllaît
meri d'avance

Tu n'as pas répondu à Jeet-Chris ! La forme de Z est -elle celle qu'il te propose, bien que tu aies omis de mettre des ( ) dans ton expression et ce qui rend la lecture aléatoire !

désolé
oui il ya des parenthèses
Z=(2+zbarre)/(1+zbarre)

lorsque je remplace z dans Z je dois supprimer les i au dénominateur ou les laisser au dénominateur car moi je les multiplie pour avoir des i² pour ne plus avoir de i au dénominateur
mais je sais pas par quoi multiplier pour les enlever. Dois-je multiplier par (iy) ou par (1+x+iy) ou par (-1-x+iy). je ne sais pas ce que je dois faire pourriez vous m'aider sil vous plaît
merci

Ton résultat me semble en effet assez faux !

Que trouves comme expression de Z en fonction de x et y ? Quels calculs as-tu effectués pour touver cela ?

Réponse à ta question de 10h54 (pardon je ne l'avais pas vue)

Au dénominateur tu as (1 + x - iy) pour faire disparaître i au dénominateur il faut multiplier numérateur et dénominateur par (1 + x + iy)

merci de m'aider
j'ai refait mon calcul et cettef ois-ci je trouve:
z barre=x-iy
je remplace dans Z et je trouve:
Z=(2+x-iy)/(1+x-iy)
Z=(2+x-iy)(iy) / (1+x+iy)(iy)
Z=(2iy+xiy-y^2) / (iy+xiy-y^2)
Z=(2iy + 1 - y^2)/ (-y^2)
soit X=(1-y²)/-y² et Y=2iy/-y²
je sais pas si c'est bon

mon précédent calcul est faux il faut que je le recommence car je ne savais pas qu'il fallait multiplier par 1+x+iy

Z=(2iy)/(1iy) ????? et w ??? dans la suite !!! C'est archi faux fais ce que je dis à 11h16

maitenant je trouve
Z=(2 + x - iy)(1+x+iy) / (1 + x - iy)(1+x+iy)
Z=(x²+y²+2+3x+iy) / (x²+y²+2x+1)
est ce que c'est bon??

Cette fois ci c'est bon. Donc maintnant, tu écris ce complexe avec d'un côté la partie réelle et de l'autre la partie imaginaire.

ok d'accoor merci
alors en sachant que Z=X+iY
et que Z=(x²+y²+2+3x+iy) / (x²+y²+1+2x)
alors
X=(x²+y²+2+3x) /(x²+y²+1+2x)
et Y=i(y/(x²+y²+1+2x)
est-cela???
merci de m'aider

Oui c'est juste. A toi de continuer !

d'accord merci
maintenant pour trouver que Z est une droite privée d'un point je résoud le système:Im(Z)=0
y=0
x²+y²+2x+1=0 or y=0
donc
y=0
x²+2x+1=0
je trouve que le point a pour coordonnées (-1,0)
mais maintenant je bloque pour montrer que Zest un imaginaire pur tel qu'il soit un cercle privé d'un point
pourriez vous m'aider s'il vous plait

je sais que l'équation d'un cercle est
(x-xr)²+(y-yr)²=R² mais je sais pas si je dois l'utiliser pour répodre à la question

pourriez vous m'aider s'il vous plaît
merci

Oh l'énorme faute horrible en terminale S !!!!!

$a=0,et,b,≠,0\frac{a}{b} = 0 , \longleftrightarrow \ a = 0 , et , b, \neq , 0$

olalala honte sur moi :rolling_eyes:
mon système vaut ceci alors y=0 et x²+2x+1+y²≠0
soit y=0 et (x+1)² +y²≠0

une somme de carrés est nulle si les carrés sont nuls soit
si y=0 et si x+1≠0 et y≠0 mais parés je fais quoi de ce résultat??

Bin les points M de coordonnées (x , y) solutions son tels que y = 0 et x ≠ -1

Le sujet te guide : ""démontrer que l'ensemble des points m(z) tels que Z soit réel est une droite privée d'un point""

Tout est dit dans la première ligne de cette réponse.

et pour montrer que Z est imaginaire pur tel qu'il soit un cercle privé d'un point
comment dois-je faire s'il vous plaît

Tu appliques ce que tu as vu en 1ère concernant l'équation d'un cercle de centre A de coordonnées (a , b) et de rayon R qui est

(x - $a)^2$ + (y - $b)^2$ - $R^2$ = 0

merci je pense que je vais pouvoir trouver la suite toute seule
merci beaucoup de votre aide
vous êtes trop sympa

De rien

j'ai essayé de faire la calcul pour le cercle privé d'un point mais je n'y arrive pas. Voici mon calcul
X=((x+3/2)²- 9/4 +2 +y²) / (x+1)²+y²)
mais aprés je ne sais pas ce que je dois faire pourriez vous m'aider s'l vous plaît

Pour que ton Z soit imaginaire pur il faut que sa partie réelle soit nulle donc il faut que
X = 0

Or X est une fraction donc il faut appliquer ce que je te disais le 15/10 à 12h17

Donc le dénominateur de X doit être nul ! A toi de modifier son écriture pour arriver à une équation de cercle !

Pense à la méthode que tu as utilisée en 1ère pour la forme canonique

$x^2$ + bx = (x + (b/2) $^2$ - $b^2$

Le point à exclure est celui dont les coordonnées rendent le dénominateur nul !