fonction u avec derivé aidé moi s.v.p



  • bonjour ,j'ai un probleme avec cette exercice voici le sujet :
    on note E l'ensemble des fonctions u definies et dérivables sur ]-1;+∞[ telles que pour tout x appartient]-1;+∞[, on ait

    (x+1)×u(x)+u(x)=3x2+2x1(1)(x+1)\times u'(x)+u(x)=3x^2 + 2x - 1\qquad (1)

    a) Démontrer que si u est derivable sur ]-1;+∞[ et vérifie (1)alors la fonction v definie sur ]-1;+∞[par v(x)=u(x)(x21)v(x)=u(x)-(x^2-1) vérifie pour tout x appartient]-1;+∞[,

    (x+1)×v(x)+v(x)=0(2)(x+1)\times v'(x)+v(x)=0 \qquad (2)

    b) Démontrer que si v est derivable sur ]-1;+∞[et vérifie (2) alors la fonction w definie sur ]-1;+∞[par w(x)=(x+1)×v(x)w(x)=(x+1)\times v(x) est const
    ente sur ]-1;+∞[.

    c) Déduire des résultats qui précèdent que toute fonction u de l'ensembleE peut s'écrire:pour tout x appartient ]-1;+∞[, u(x)=x21+kx+1u(x)=x^2-1+\frac k{x+1} (avec k const
    ente réelle)

    moi j'a trouvé la a) et la b)
    pour la b) ca fait (x+1*v'(x)+v(x) =w'(x)
    mais pour la c) je voit pas ou metre le k

    merci de votre aide

    Citation
    cet
    teexercice
    exercice est un nom masculin ; on écrira plutôt
    cetexercice, svp.



  • a) tient au fait que f:xx21f : x \mapsto x^2-1 est une solution particulière de (1).

    b) demande de calculer w(x)=v(x)+(x+1)v(x)w'(x) = v(x) + (x+1)v'(x), qui est égal à 0, par définition de v.

    comme w' = 0, cela signifie que w = constante, par exemple k.

    c) ... donc (x+1)v(x) = k, donc v(x)=kx+1v(x) = \frac k{x+1}

    ... donc u(x) = v(x) + (x² - 1), c-à-d. u(x)=v(x)+kx+1u(x) = v(x) + \frac k{x+1}.


 

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