fonction u avec derivé aidé moi s.v.p

[laurette]

bonjour ,j'ai un probleme avec cette exercice voici le sujet :
on note E l'ensemble des fonctions u definies et dérivables sur ]-1;+∞[ telles que pour tout x appartient]-1;+∞[, on ait

$(x+1)\times u^{\prime }(x)+u(x)=3x^2+2x-1(1)$

a) Démontrer que si u est derivable sur ]-1;+∞[ et vérifie (1)alors la fonction v definie sur ]-1;+∞[par $v(x)=u(x)-(x^2-1)$ vérifie pour tout x appartient]-1;+∞[,

$(x+1)\times v^{\prime }(x)+v(x)=0(2)$

b) Démontrer que si v est derivable sur ]-1;+∞[et vérifie (2) alors la fonction w definie sur ]-1;+∞[par $w(x)=(x+1)\times v(x)$ est const
ente sur ]-1;+∞[.

c) Déduire des résultats qui précèdent que toute fonction u de l'ensembleE peut s'écrire:pour tout x appartient ]-1;+∞[, $u(x)=x^2-1+\frac{k}{x+1}$ (avec k const
ente réelle)

moi j'a trouvé la a) et la b)
pour la b) ca fait (x+1*v'(x)+v(x) =w'(x)
mais pour la c) je voit pas ou metre le k

merci de votre aide

Citation
cet
teexercice
exercice est un nom masculin ; on écrira plutôt
cetexercice, svp.

[Zauctore]

a) tient au fait que $f:x\mapsto x^2-1$ est une solution particulière de (1).

b) demande de calculer $w^{\prime }(x)=v(x)+(x+1)v^{\prime }(x)$, qui est égal à 0, par définition de v.

comme w' = 0, cela signifie que w = constante, par exemple k.

c) ... donc (x+1)v(x) = k, donc $v(x)=\frac{k}{x+1}$

... donc u(x) = v(x) + (x² - 1), c-à-d. $u(x)=v(x)+\frac{k}{x+1}$.