Exercice limites / fonctions

Bonjour , j'ai un petit exercice que je ne comprend pas vraiment pourriez vous m'aider

soit $\sqrt{ x(2-x) }$

1a) Verifiez que f est définie sur [0;2]
Bon ça pas de problemes
b) Prouvez que f est dérivable sur ]0;2[ et calculez f'(x) pour tout x ∈ ]0;2[
Donc j'ai calculé f'(x) = $\frac{ -2x^2 + 3x }{ \sqrt{ x(2-x) } }$
Donc $\sqrt{ x(2-x)$ ne doit pas etre negatif ni égal à 0 ce qui nous ramene à l'interval ]0;2[

2a) Quelle est la limite de f(x) / x quand x tend vers 0
, donc là j'ai trouvé comme limite 0
b) Désuisez en que f est derivable en 0
$f(x)−f(0)x−0\frac{f(x) - f(0)}{x - 0 }$ = $\sqrt{ x(2-x)$
$\sqrt{ x(2-x)$ Existe donc f est derivable en 0 .

Mais on a prouvé en 1b quelle n'etait pas dérivable en 0 pouvez vous m'expliquer ??? Doit on à chaque fois vérifier les bornes lorsque l'on calcul de domaine de dérivibalité ????

3a) Quelle est la limite de f(x) / ( x- 2 ) lorsque x tend vers 2
Bon il se trouve que je suis nul en limite (on n'a pas encore fait de rappels de 1eres)
b ) La fonction f est - elle dérivable en x = 2 ?

Donc voilà si vous pouviez m'aider ce serai super sympas , je sais que c'est pas areable à lire mais j'ai vraiment du mal avec le latex ...

Un peu de courage avec LaTeX ! car ça en vaut la peine.

Pour écrire f(x) = x√( x(2-x) )

tu tapes
[_tex]f(x) = x \sqrt{ x(2-x) } [/mtex]

et ça rend ceci,
en enlevant l'underscore _ devant le 1er tex

$\sqrt{ x(2-x) }$
(sauf le centrage)

ça a quand même une autre allure, non ?

De même pour f'(x) = ( -2x² + 3x ) / √(x(2-x) )

tu saisis
[_tex]f'(x) = \frac{ -2x^2 + 3x }{ \sqrt{ x(2-x) } } [/mtex]

pour afficher
$\frac{ -2x^2 + 3x }{ \sqrt{ x(2-x) } }$

Enfin, pour la limite de f(x) / ( x- 2 ) lorsque x tend vers 2

tu entres

[tex]\lim{x \to 2}\ \frac{f(x)}{x-2}[/mtex]

et tu obtiens
$f(x)x−2\lim_{x \to 2}\ \frac{f(x)}{x-2}$

Je t'accorde le bénéfice du doute, parce que le serveur a fait des siennes ce soir ! Sans rancune pour ce multipostage ! L'erreur est réparée. A +

D'accord merci ,
et sinon pour cet exercice est-ce que vous pourriez m'aider ? En fait j'ai DS lundi et j'avou que cet histoire de dérivibalité en calculant f'(x) par l'equation de f(x) puis de ensuite la calculer grace à la limite et de ne pas trouver les mêmes resultats ça me perturbe un petit peu (le 0 qui est dérivable en calculant par la limite et non dérivable grace à f'(x) ) ... Et puis aussi pour la limite lorsque x = 2 j'ai du mal ( grosse lacunes en limites ,le DS est à l'origine sur la dérivation mais bon les limites servent forcement sur ce chapitre ...)

voilà donc un ptit peu d'aide serai le bienvenue ^^

Salut.

1.b) Comme la fonction racine carrée est dérivable partout sauf en zéro, alors tu vas pouvoir ôter les valeurs en 0 et 2. La question c'est bien "montrer que c'est dérivable, et puis dériver".

2.b) Raté. En 1.b) on a montré que la fonction était dérivable sur ]0;2[. On n'a pas parlé des valeurs en 0 et en 2, parce que l'on ne savait pas comment la fonction se comportait. Ce n'est pas parce que la racine n'est pas dérivable que la fonction ne l'est pas. En fait il se peut que certains termes font que l'on puisse en fait dériver: c'est ce qu'il se passe ici.

C'est pour cela que l'on en revient à la définition de la dérivée, c'est-à-dire que la fonction est dérivable en un point si la limite du taux d'accroissement admet une limite finie:

$f′(0)=lim⁡x→0f(x)−f(0)x−0=lim⁡x→0f(x)x=lim⁡x→0x(2−x)=0f'(0)=\lim_{x \to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x}=\lim_{x \to 0} \sqrt{x(2-x)}=0$

Et hop ! C'est dérivable en 0.

3.b) Du 3.a) on remarque que le rapport $f(x)x−2\frac{f(x)}{x-2}$ c'est le taux d'accroissement. Donc...

3.a) Alors on commence le calcul:

$f(x)x−2=xx(2−x)x−2=xx⋅2−xx−2\frac{f(x)}{x-2}=\frac{x \sqrt{x(2-x)}}{x-2}=x \sqrt{x} \cdot \frac{\sqrt{2-x}}{x-2}$

Ce que se simplifie. Tu te retrouveras avec en numérateur qui tend vers une limite finie non nulle, et un dénominateur qui converge. Ce n'est plus un cas indéterminé.

@+