racine enieme de l'unité



  • Bonjour,

    cet exo n'est pas vraiment au programme de term S mais c'est dans la continuité du programme. Notre prof nous l'a donné en disant qu'on aurait du mal, mais qu'on trouverait peut etre la méthodologie sur internet ou dans un bouquin. N'ayant rien trouvé, nous posons notre question ici :

    Resoudre ((z²+1)/(z²-1))^8=1

    Pour commencer, nous avons posé Z=(z²+1)/(z²-1) et résolu l'équation avec la formule des racines eniemes de l'unité, soit 8 solutions complexes.

    Le problème se pose quand on reporte le Z trouvé dans l'équation pour avoir z
    Pour Z0=1 on a -1=1... les autres solutions sont très longues à trouver et ne parraissent pas solvables lorsqu'on les reporte.
    Quelqu'un a une idée?
    Merci d'avance



  • Bonsoir MiomaX,
    En effet je ne me rapelle pas avoir vu les racine n-ieme de l'unité en terminale, toutefois, je vais t'en parler brèvement.

    Quand tu as une équation du type Z^n=1 les solutions de cette équation sont les racines n-iemes de l'unité.
    C'est joli comme nom, mais quelles sont elles. Les racines n-iemes de l'unités sont les complexes suivants : z= exp(ik∏/n), avec k un entier compris entre 0 et n-1 inclus. Une des propriétés de ces racines n-iemes est que la somme des racines n-iemes de l'unité est égale a 0.

    Voila tu sais donc maintenant ce que c'est.
    Dans le cas de ton problème, quand on te dit qu'on a trouvé les solution, on a trouvé alors 8 solutions :
    ce sont donc les exp(2×i×0×∏/8), exp(2×i×1×∏/8), exp(2×i×2×∏/8), exp(2×i×3×∏/8), exp(2×i×4×∏/8), exp(2×i×5×∏/8), exp(2×i×6×∏/8), exp(2×i×7×∏/8).
    Donc quand tu remplace les solutions, c'est la que tu as des problemes apparement. Je te conseille donc de mettre les z sous la forme module×exponetielle et tu regardes les cas ou ca passe et les cas ou ca ne passe pas. 🆒


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