Vérification

Bonjour , je n'ai toujours pas fini avec ce devoir .Je voulais savoir si vous pouvez me vérifier et si necessaire me corriger si j'ai fait une erreur.

Enoncé : On définit la fonction f de C-{i} dans C définie par f(z)=(izbarre-1)/(z-i)) , où zbarre représente le conjugué de z . On désigne par A le point d'affixe i.
Ecrire sous forme algébrique , puis sous forme trigonométrique , le nombre
f(√(3)+2i).Résoudre l'équation f(z)=1+i
Déterminer l'ensemble F des points M d'affixe z telle que f(z) soit réel.

Ce que j'ai fait : f(√(3)+2i)= (i(√(3)-2i)-1) /(√(3)+2i-i)
= (i√(3)+1)/(√(3)+i)
=[(i√(3)+1)(√(3)-i)]/4
=(√(3)/2)+(i/2)
Donc la forme trigonométrique est cos(pi/6)+isin(pi/6)

izbarre-1=(1+i)(z-i) = z-i+iz+2
zbarre=(z-i+iz+2)-1=-1+z-i(z+2)
z= 1+z+i(z+2)

Déterminer l'ensemble F des points M d'affixe z telle que f(z) soit réel
(izbarre-1)/(z-i) = [(xi+y-1)(x-i(y-1)]/(x+i(y-1))
=(x²i+xy-x+yx-iy²+iy-x+iy-i)/(x²+(y-1)²)
=(2xy-2x+i(x²-y²-1+2y)/(x²+(y-1)²)
Donc si f(z) est réel , la partie imaginaire vaut 0 :
(x²-y²-1+2y)/(x²+(y-1)²)
= (x²-(y-1)²)/(x²+(y-1)²)

Ca donne z'barre/z' mais j'arrive pas à sortir l'ensemble de points de cette equation :s

Merci de votre aide.

Salut.

La forme trigonométrique est bonne.

Pour la résolution de f(z)=1+i, il faut calculer complètement z, donc sa partie imaginaire, et sa partie réelle.

Enfin, la partie imaginaire doit bien être nulle, mais vu que c'est une fraction, tu peux factoriser par son dénominateur qui ne doit jamais être nul, lui.

$\frac{x^2-(y-1)^2}{x^2+(y-1)^2}=0 \quad \leftrightarrow \quad \left{ x^2-(y-1)^2=0 \ x^2+(y-1)^2 \neq 0 \right.$

Là, tu devrais pouvoir terminer.

@+