Dérivées de fonction et recherche d'inconnues



  • Bonjour, bon voila je suis bloqué sur une question où il faut trouver 4 inconnues a, b, c et d. Voici l'énoncé:

    On considère la fonction f définie sur mathbbRmathbb{R} par f(x)= (x^3 -4) / (x²+1)

    1. On pose g(x)= x^3 +3 x +8
      a) Etudier le sens de variation de g, et montrer que l'équation g(x)=0 admet sur R(ensemble des réels) une unique solution α dont on donnera un encadrement à 0,1
      b) Préciser le signe de g(x) selon les valeurs de x

    2)a) Calculer f'(x) et étudier le sens de variation de f
    b) Etudier les limites de f en +∞ et -∞
    puis dresser le tableau de variations de f

    1. a ) Montrer qu'il existe quatre réels a, b, c, et d tels que f(x)= ax+b+ (cx+d)/(x²+1)

    Voila, ca fait quelques jours que je cherches un moyen de résoudre cette équation, j'ai trouvé comme données: g'(x)=3x²+3 , -1,6≤ α ≤ -1,5 et f'(x)= (x *(g(x)) ) / (x²+1)²

    J'essaye de factoriser par (x²+1) de faire des conjugués, mais rien ne marche. Si vous pouviez m'aider, vous me seriez d'une très grande aide.Merci



  • bon voila, j'ai peut-être trouvé une solution mais je ne sais pas si le professeur sanctionnerait cette idée.
    Pourrait-on partir de l'expression donnée, mettre tous les membres sous x²+1 et donc ensuite dire que les polynômes sont égaux si leurs coefficients sont égaux? merci et bonne journée



  • c'est pour 3a) ? alors oui, c'est une idée qui permet d'aboutir aux valeurs des paramètres a, b,c et d.



  • D'accord merci, je vais poursuivre cet exercice alors, et si je ne réussis pas par la suite, je reviendrais poser des questions. encore merci ^^



  • Rebonjour, désolé de vous redéranger mais je ne trouve pas la réponse à la question 4). Voici la suite de l'énoncé de la dernière fois:

    1. b) En déduire que C (courbe représentative de f) admet une asymptote oblique Δ, et étudier la position de C par rapport à Δ. Vérifier en particulier que C rencontre Δ en un unique point A

    2. Déterminer les abscisses des points B et B' de C admettant une tangente parralèle à Δ .

    Voici les réponses obtenues en 3) a) f(x)= x+0 - (x+4) / (x²+1)
    b) C en dessous de Δ sur [- ∞, 4] , C coupe Δ en -4 , C est au-dessus de Δ sur [-4, + ∞]
    L'équation de Δ étant y= x
    J'ai beau regarder dans les livres de mathématiques,tous les exercices réalisés en cours, aucun ne ressemble à cette question 😕 .merci de votre réponse



    1. Pour montrer que la droite (D) d'équation y = ax+b est asymptote à la courbe représentant f , il faut montrer que

    limx±f(x)(ax+b)=0\lim _{x \rightarrow { \pm} \infty} f(x)-(ax+b) = 0

    1. Cherche un peu ce qui pourrait bien y avoir comme relation entre le coefficient directeur de Δ et celui des tangentes à C la courbe représentant f si ces droites sont parallèles.

    Quelle formule donne le coefficient de la tangente à C en un point A(a ; f(a)) ?



  • Oui j'ai pensé à ça aussi, on a le méme coefficient que pour l'asymptote Δ pour les tangentes passant par B et B' , c'est à dire y=x
    Or , on a une équation de tangente en un point A(a ; (f(a)) qui est y= f'(a) (x-a) + f(a)
    donc ici on a les 2 équations suivantes pour B et B':
    y= f'(b) (x-b) + f(b) pour B
    y= f'(b') (x-b') + f(b') pour B'

    Mais voila, je sais que ces deux équations de droites sont égales au coefficient directeur x, mais après je ne sais vraiment pas quoi faire à partir de la fonction f , peut-être retirer le x de l'équation, mais après je ne vois pas comment obtenir les coordonnées des points , c'est cela qui m'embête :frowning2:



  • quelle grossière erreur !!

    y = x c'est la même chose que y = 1x donc le coefficient directeur de cette droite n'est x mais ?



  • euh oui 1 désolé pour l'erreur :S

    J'ai donc f' (b) (x-b) + f(b) =1x+0
    et f' (b') (x-b') + f( b') = 1x +0
    c'est bien ca? mais le problème c'est que je nous n'avons jamais réalisé de tels exercices en cours de maths, on se contente juste de donner une équation de tangente en un point donné :frowning2:


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