DM : développée de la fonction carrée.



  • Bonjour, jai un devoir maison pour ces vacances mais je ne le comprend pas tres bien donc j'aimerais bien une petite aide de votre part.

    Enfaite c'est la développée de la parabole mais aussi de la sinusoide et de l'hyperbole mais comme ce sont les memes questions pour les 3 fonctions je me contenterais de la parabole.

    Voici l'énoncé :

    Soit la fonction f définie par f(x)=x².

    Soient un nombre a de mathbbRmathbb{R}, MaM_a un point de la parabole d'abcisse a soit TaT_a la droite tangente à la parabole en MaM_a.

    1. Calculer l'equation de TaT_a (pour a quelconque)
      Donner l'equation de la droite NaN_a ⊥ à TaT_a en MaM_a.

    On considère deux normales NaN_a et NbN_b pour deux valeurs distinctes mais voisines.

    1. Soit Ia,bI_{a,b} le point d'intersection de NaN_a et NbN_b. Déterminez les coordonnees de Ia,bI_{a,b}.

    2. On fait tendre *b *vers a, c'est à dire qu'on rapproche MbM_b de MaM_a, le point Ia,bI_{a,b} se rapproche d'un point qu'on nomme CaC_a.
      Déterminez en fonction de a les coordonnées (xa(x_a,yay_a) de CaC_a.

    3. Définir par son centre et son rayon le cercle osculateur à la parabole en chacun des points d'abcisse respective a = -2, a = -1 a = 0, a = 1 et a = 2.

    4. Eliminer a entre les coordonées (xa(x_a,yay_a) de CaC_a et en deduire l'equation de la developpée de la parabole.

    Justifiez sa symetrie.

    1. Si une bille roule dans la concavite de la parabole, quel doit etre son rayon maximal pour ne pas se bloquer ?

    J'ai vraiment du mal a comprendre le probleme

    je n'ai meme pas reussi a repondre a la premiere question car j'ai quelques petit probleme avec mon prof de math (il ne nous a pas fait un cours du programme depuis le debut de l'année) et donc je ne sais meme pas calculer l'equation d'une tangente a par que c'est une droite donc y=ax+b, c'est pour cela que je compte sur votre aide.

    Merci par avance de bien vouloir me repondre.



  • Avec de telles notations, c'est un défi pour des 1S, n'est-ce pas... Voici déjà, puisque tu dis ne pas savoir grand'chose à ce sujet, un rappel de cours :

    l'équation de la tangente à une courbe en un point

    Soit cfc_f la courbe d'une fonction ff dérivable en x0x_0 ; on note y0=f(x0)y_0 = f(x_0).
    Alors la droite tangente à cette courbe en m0(x0,;,y0)m_0(x_0,;,y_0) a son équation réduite donnée par la relation suivante

    yy0=f(x0)(xx0)\fbox{y - y_0 = f'(x_0) (x - x_0)}
    Autrement dit, pour déterminer l'équation d'une tangente en un point, il faut

    • calculer la dérivée de la fonction,
    • calculer la valeur de cette dérivée au point voulu (c-à-d. le nombre dérivé en x0x_0),
    • remplacer x0x_0, y0y_0 et f(x0)f'(x_0) par leurs valeurs dans la formule ci-dessus,
    • ré-arranger ceci sous la forme plus classique y=ax+by = ax+b.

    Retenir: le coefficient directeur aa de la tangente est donné par le nombre dérivé de ff en x0x_0, ie f(x0)f'(x_0).

    Remarque: la relation encadrée plus haut signifie que l'accroissement des valeurs de la fonction entre yy et y0y_0 est
    proportionnelà celui de la variable entre xx et x0x_0 ; le coefficient de proportionnalité étant f(x0)f'(x_0).



  • Bonjour,

    J'ai suivi votre méthode et je vous montre les resultats que j'ai trouvé :

    le coefficient directeur est egal a la fonction derivé donc,
    f'(a)=x²-a²/x-a=x+a
    est-ce correct?

    Puis pour b j'ai trouvé b=x²-x(x+a)=-ax

    Donc au final je trouve Ta=x(x+a)-ax
    Ce resultat me parait etrange car lorsque je developpe ce resultat je trouve Ta=x² est-ce normal?

    Puis pouvez-vous m'aider pour la question suivante sur l'equation de la normale.
    Je vous remercie beaucoup de votre aide qui m'est tres importante.



  • Un commentaire en vitesse sur le tout début.

    Original, ça : f(a)=(x2a2)/(xa)=x+af'(a) = (x^2-a^2)/(x-a) = x+a, mais à condition de
    faire tendre x vers a, ce qui donne f(a)=2af'(a) = 2a.

    Pas le temps pour le moment de regarder la suite ; peut-être ce soir.


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