Etude de l'intersection d'une hyperbole et d'une famille de paraboles



  • Bonjour a tous, voila j'ai un petit probleme avec cet énoncé et ses questions :

    (O;i;j) est un repère orthonormal du plan :

    Partie A :

    On désigne par P la courbe représentative de la fonction f définie dans R par : f(x) = 1/2 x (4 - x).

    H la courbe représentative de la fonction g définie dans R-{3} par :
    g(x) = (x - 4) / (x - 3)

    1. Déterminer algébriquement les coordonnées des points d'intersection des courbes P et H .

    2. Etudier algébriquement la position relative des courbes P et H .

    Voici les questions aux quelles je bloque :s enfin avant de venir poster le problème j'ai cherché de mon coté et j'en n'est déduit :

    1. on fait :
      y = f(x)
      y = g(x)

    donc : f(x) = g(x) Mais lorsque je calcule ça, cela me donne une équation du 3eme degrés dont on n'a pas encore vu les résolutions... mise apars une factorisation du type : ( x - y ) ( ax²+bx+c) mais généralement il nous la donne dans l'énoncé...

    1. on fait f(x)-g(x) on factorise cette forme et on fait un tableau de signe mais avant il faut résoudre le 1) je pense...

    Voila merci pour votre aide prennez votre temps ça presse pas 🙂 bonne journée 😉 a bientot .

    Amicalement Luc.



  • bonjour!!
    (très bon post 😉 )
    Alors pour la première question il faut bien faire f(x)=g(x) mais surtout tu ne développes jamais d'accord
    je vais te faire le début
    (0,5x)(4-x)=(x-4)/(x-3)
    le but c'est de tout passer de l'autre côté
    (0,5x)(4-x)(x-3)=(x-4)
    (0,5x)(4-x)(x-3)-(x-4)=0
    maintenant il y a une belle factorisation réfléchis un peu et tu devrais vite trouver 😉
    Dans ce cas tu auras quelque chose de la forme (a-x)(bx²-cx+d)=0
    dis moi si tu y arrives et on vera la suite 😄



  • Voila ce que j'ai fait :
    (0,5x)(4-x)(x-3)-(x-4)=0
    (0,5x)(4-x)(x-3)+(-x+4)=0
    on met en facteur (4-x)
    (4-x)[(0.5x)(x-3)+1]=0
    ce qui donne :
    (4-x)(x²-3x+1)=0

    c'est ça ?



  • oui mais il est passé où le 0,5 dans l'avant dernière ligne lol
    (4-x)(0,5x²-1,5x+1)=0
    (je mets 0,5 au lieu de 1/2 parce que c'est plus rapide mais sur la copie c'est mieux de mettre 1/2 😉 )



  • Et bien merci beaucoup pour votre aide j'ai terminer le 1) et fini le 2) 🙂

    En revanche il y a une partie B un peu plus délicate :s
    Je vous donne l'énoncé :

    Partie B :

    m désigne un nombre réel non nul. On désigne par Pm la parabole représentant la fonction fm définie dans R par :

    fm(x) = mx² - 4mx + 4m + 2

    1. Montré qu'un point M(x;y) appartient à la fois a l'hyperbole H et à la parabole Pm si, et seulement si, son abscisse x est solution de l'équation :

    mx³ - 7mx² + (16m + 1)x - 12m - 2 = 0 (E)

    Voila je ne comprend pas trés bien la question, faut t'il renplacé x des point d'intersection des courbes dans l'équation ci-dessus ou bien résoudre en trouvant m :s voila j'espere que vous pourez m'aider 🙂
    J'ai commencer en remplaçant les x par les x des points d'intersection des courbes et je trouve :
    m = 0 pour A(2;2)
    m = -1 pour B(1;3/2)
    m = -2/4 pour C(4;0)

    Je vous met la suite du problème

    1. a) Vérifier que (E) est vérifiée pour x = 2
      b) Déterminer les réels am , bm , cm tels que :
      mx³ - 7mx² + (16m + 1)x - 2 = (x-2)(amx² + bmx + cm)
      c) Déduire de la factorisation établie à la question b :
      .L'ensemble des nombres réels m pour lesquels les courbes Pm et H on un seul point commun.
      .L'ensemble des nombres réels m pour lesquels les courbes Pm et H on deux points communs.
      .L'ensemble des nombres réels m pour lesquels les courbes Pm et H on trois points communs.

    Le a et le b je pense les résoudre sans problème . mais le c) c'est a voir...

    Voila encore merci pour le temps que vous consacré a nous aidé, continuez comme ça vous faite un boulot énorme 🙂 Merci

    a bientot.

    Luc.



  • coucou!!
    Pour la première question :
    Je pense que tu dois faire fm(x)=g(x)
    imagine qu'on ne t'ai pas donné la formule c'est ça que tu aurais fait . Tu trouves en fesant cette méthode la formule qu'ils te donnent ensuite



  • Pour la question c
    tu as trouvé a, b et c
    t'es d'accord que lorsque:
    (x-2)(amx² + bmx + cm)=0
    on a g(x)=fm(x) donc un ou des points en commun
    en fait il faut résoudre l'équation
    (x-2) (amx² + bmx + cm)=0
    qui n'est valable que si
    (x-2)=0 ou (amx² + bmx + cm)=0
    pour n'avoir qu'un seul point en commun il faut que
    (amx² + bmx + cm)=0 n'est pas de solution parce qu'on en a déja une avec x=2
    voila je te laisse faire les calculs dis moi si tu comprends mon charabia 😆
    @+



  • Pour la 1) je tombe bien sur :
    mx³ - 7mx² + (16m + 1)x - 12m - 2 = 0

    Mais la question c'est de montré quelle est le point qui appartient au deux courbes :s cela suffit pour demontrer si fm(x) = g(x) alors il y a un point qui appartient aux deux courbes ?



  • Pour la question 2) a)
    si x = 2 alors quand on simplifie (E) on trouve m = 0

    Pour la question b)
    a = -7
    b = 17
    c = -2

    pour la c) j'ai besoin de savoir si cest juste le b) ^_^

    merci .



  • pour la qustion 1 moi je lis "montré qu'un point M appartient a ... si ..." et pas "Montré quel est le point M..."donc ba là on a montré qu'un point M qui appartient à la parabole et à l'hyperbole a pour abscisse l'équation donnée
    je regarde pour la question d'après



  • luc
    Pour la question 2) a)
    si x = 2 alors quand on simplifie (E) on trouve m = 0

    Pour la question b)
    a = -7
    b = 17
    c = -2

    pour la c) j'ai besoin de savoir si cest juste le b) ^_^

    merci .
    C'est bizare parce que je peux t'assurer que lorsque tu remplaçes a par -7 dans l'expression suivante :
    (x-2) (amx² + bmx + cm)
    et que tu développes tu obtients −7mx3-7mx^37mx3 :rolling_eyes: nan?! et nous on veut mx3mx^3mx3



  • Pour trouver a, b, c, on fait bien

    amx² = -7mx²
    bmx = (16m + 1)x
    cm = -12m -2

    je trouve donc :
    a = -7
    b = 17
    c = -14 ( d'ailleur j'avais fait une erreur la :s )

    je pense que cest cette méthode pour trouver a, b, c, voila je vous laisse vérifier

    Merci...



  • luc
    Pour trouver a, b, c, on fait bien

    amx² = -7mx²
    bmx = (16m + 1)x
    cm = -12m -2

    je trouve donc :
    a = -7
    b = 17
    c = -14 ( d'ailleur j'avais fait une erreur la :s )

    je pense que cest cette méthode pour trouver a, b, c, voila je vous laisse vérifier

    Merci...

    Pourquoi ne veux-tu pas développer lol

    • b) Déterminer les réels am , bm , cm tels que :
      mx³ - 7mx² + (16m + 1)x -12m?- 2 = (x-2)(amx² + bmx + cm)*
      donc tu ne t 'occupes pour le moment que du seconde terme de l'égalité que tu développes

    (x-2)(amx² + bmx + cm)= amx3amx^3amx3 +bmx²+cmx-2amx²-2bmx-2cm
    = amx3amx^3amx3 +(bm-2am)x² +(cm-2bm)x -2cm
    et maintenant tu peux t'occuper du premier membre de l'égalité je te laisse continuer 😄

    ps essaie de corriger l'énoncé du post du 28 à 8h59 parce que c'est complètement différent sans le 12m merci



  • Il n'y a pas le -12m je m'excuse pour cette erreur :s

    Ensuite d'aprés le développement que vous avez fait, je trouve :

    amx³ = mx³
    (bm-2am)x² = - 7mx²
    +(cm-2bm)x = (16m + 1)x

    et donc :
    a=1
    b=-5
    c=7

    c'est ça ?



  • luc
    Il n'y a pas le -12m je m'excuse pour cette erreur :s

    Ensuite d'aprés le développement que vous avez fait, je trouve :

    amx³ = mx³
    (bm-2am)x² = - 7mx²
    +(cm-2bm)x = (16m + 1)x

    et donc :
    a=1
    b=-5
    c=7

    c'est ça ?

    A mon humble avis sans le -12m on est mal je ne vois pas pourquoi dans la deuxième partie du problème ils l'auraient enlevé et en plus ça ne marche pas quand il n'y a pas le 12m lol
    bref
    pour a et b je suis d'accord mais pas pour le c
    (cm-2bm)x = (16m + 1)x
    cm+10m=16m+1
    je te laisse finir
    oui ça fait un c un peu étrange je te l'accorde
    pour vérifier après résoud -12m - 2 = -2cm tu va voir ça devrait marcher



  • je trouve çà :

    cm+10m=16m+1
    cm = 16m-10m +1
    c = (6m+1)/ m

    Trés bizarre :s

    je comprends plus rien lol

    je vous scan l'énoncé dans 2 minute 🙂



  • luc
    je trouve çà :

    cm+10m=16m+1
    cm = 16m-10m +1
    c = (6m+1)/ m

    Trés bizarre :s

    je comprends plus rien lol

    je vous scan l'énoncé dans 2 minute 🙂

    oui et bien c =6 +1/m
    je sais bien c'est bizare mais pourquoi pas notre raisonnement est bon m est un entier il ne varie pas donc c'est possible
    Ne marque pas ça sur ta copie mais pour te convaincre prend m=2 et x=1
    calcule
    mx³ - 7mx² + (16m + 1)x -12m- 2
    et
    (x-2)(amx² + bmx + cm) avec a , b et c que l'on a calculé
    tu verras ça fait la même chose ça ne prouve rien bien sûr mais c'est pour te montrer que ce n'est pas abérrant



  • [/quote]
    oui et bien c =6 +1/m
    [/quote]

    ce n'est pas : c = 6m+1/m ?

    Voila l'énoncé :
    [*IMG]http:*****[/IMG]

    Pour le 2)c) je ne comprend pas trés bien comment trouver les reels,

    avec c = 7 je trouve que
    (x-2)(amx² + bmx + cm)= 0
    x = 2 et (amx² + bmx + cm) n'a pas de solution Delta < 0

    Modification de message = suppression de l'image qui ne respecte pas le règlement du forum.



  • luc

    ce n'est pas : c = 6m+1/m ?

    c=6m+1m=6mm+1m=6+1mc= \frac{6m+1}m= \frac{6m}m + \frac{1}m = 6 + \frac{1}mc=m6m+1=m6m+m1=6+m1
    merci d'avoir posté l'énoncé cela me permet de te dire que

    ama_mam ≠am

    b m_mm ≠bm

    cmc_mcm ≠cm
    et oui cela change tout!!
    ama_mam veut dire "a en dépend de m" quand tu as étudié les suites tu avais UnU_nUn et pas Un parce que là ça veut dire U x n tu comprends?!
    Il va falloir reprendre pas mal de choses on a maintenant
    ama_mam = m
    b m_mm = -5m
    cmc_mcm = 6m +1
    on a bien des coefficients qui dépendent de m
    je persiste et signe qu'il manque le -12m
    lol
    Comment tu trouves c = 7 ?



  • Effectivement j'aurais du poster l'énoncé des le départ :s désolé

    je comprend le raisonnement :

    ama_mam = m
    b m_mm = -5m
    cmc_mcm = 6m +1

    Mais faut-il laisser comme ça ? ou bien trouvé un nombre pour a, b, et c ?



  • nan puisque dans l'énoncé on te demande de trouver ama_mam , bmb_mbm et cmc_mcm il ne faut pas que les m te perturbent lol. ama_mam est une entité (je ne sais pas si c'est le bon mot mais bon...) tu ne peux pas dissocier a et m
    je reprends mon exemple (j'espère que tu as vu les suites au fait lol)
    comment veut tu séparer U et n dans UnU_nUn
    Dans l'expression (x−2)(am(x-2)(a_m(x2)(am+bm+b_m+bm x + cmc_mcm)
    tu remplaçes par les valeurs que l'on a trouvé
    tu y arrives pour la suite?



  • Pour la 2)c) j'ai du mal a trouver l'ensemble des réels m en fonction de :

    ama_mam = m
    b m_mm = -5m
    cmc_mcm = 6m +1

    De plus je ne comprend pas trés bien vos explications pour les points en communs :s

    Merci pour vos efforts jusqu'à présent 🙂 c'est gentil de votre part 🙂



  • je te propose d'ouvrir une bouteille de champagne quand on aura fini lol pour les efforts qu'il a fallu fournir 😉
    bref
    donc H et PmP_mPm ont un ou des points en commun si

    (x−2)(am(x-2)(a_m(x2)(am+bm+b_m+bm x + cmc_mcm)=0 (cf enoncé)
    donc si
    (x-2) (mx² -5m x + 6m+1) =0 (cf nos laborieux calculs lol)
    d'ac?!
    ceci est vrai si
    (x-2)=0 ou (mx² -5m x + 6m+1)=0

    _Pour qu'il n'y ait qu'une solution à cette équation il faut
    (mx² -5m x + 6m+1) =0 n'ait pas de solutions car on a déja pour x=2 une solution

    calcul du discriminant Δ= 25m²-24m²-4m= m²-4m
    pour que l'équation n'ait pas de solutions il faut que Δ<0
    donc m²-4m<0 soit m(m-4)<0 tu fais un tableau de signe
    et tu as ton ensemble de solutions

    _Pour qu'il y ait deux solutions il faut que
    (mx² -5m x + 6m+1) =0 ait une solution donc que Δ=0...
    je te laisse finir dis moi si c'est plus clair :razz: 😄



  • Rebonjour,

    Merci, en effet, de respecter le règlement :

    un exo par sujet (c'est plus facile à suivre pour tout le monde)

    scans : voir ma réponse à l'autre sujet

    J'ai donc déplacé la 2ème partie de ton message ! il faut donc en changer le titre.



  • Je reviens sur cette exo car je n'arrive pas a rédiger la réponse du :
    2) a) Vérifier que (E) est vérifiée pour x = 2

    Je trouve m=0

    voila merci



  • pour la question 2 il suffit de remplaçer x par 2 dans l'expression suivante
    mx³ - 7mx² + (16m + 1)x - 12m - 2 = 0 (E)
    ce n'est pas parce que les m s'annulent que m=0



  • ah oui je suis bête ! mais comment rédiger la réponse ? aprés avoir fini le calcul biensur



  • Nous remarquons que pour x=2
    mx³ - 7mx² + (16m + 1)x - 12m - 2 = 0 donc x=2 est solution de (E)



  • Hello all !
    Je réouvre le sujet car je fais le même exercice, seulement je bloquait moi aussi sur le c !
    miumiu

    (x−2)(am(x-2)(a_m(x2)(am+bm+b_m+bm x + cmc_mcm)=0 (cf enoncé)
    donc si
    (x-2) (mx² -5m x + 6m+1) =0 (cf nos laborieux calculs lol)
    d'ac?!

    et apres avoir réfléchis a partir de vos réponse, je vois que le c = 6 + 1/m
    c=c=%20\frac{6m+1}m=%20\frac{6m}m%20+%20\frac{1}m%20=%206%20+%20\frac{1}mc=
    s'est transformé en 6m+1 !

    Par quel miracle lol
    du coup je ne sais plus comment arriver à la suite :frowning2:
    Pourriez vous m'éclairer s'il vous plait ?
    merci 😄



  • coucou
    oui alors c'était parce qu'il y avait eu un problème de comprehension
    nous avions commençé nos calculs par cm =-12m-2
    alors qu'en faite c'est cmc_mcm=-12m-2 grosse nuance
    do you understand? lol



  • oki c'est compris !
    Muchisimas gracias 😉



  • Ouao!

    J'étais en train de désesperé devant ma copie lorsque j'ai tapé le titre de l'exo dans le moteur de Recherche G..... et je suis tombé sur le parfait même execice!

    J'ai une ou deux questions :

    à la question 1) du A, lorsque l'on a l'abscisse des points d'intersection des deux courbes, pour trouver l'ordonnée on fait l'image de x par n'importe laquelle des fonctions?

    à la question 2) du B, pourriez-vous faire le détail de la question? Ne faut-il pas faire f(x)>g(x) et f(x) ≤ G(x) ? 😄

    Merci 😁



  • Bonjour, Mitch33

    Citation
    à la question 1) du A, lorsque l'on a l'abscisse des points d'intersection des deux courbes, pour trouver l'ordonnée on fait l'image de x par n'importe laquelle des fonctions?

    Si tu cherches l'image de x par les 2 fonctions tu dois trouver la même chose (c'est une bonne façon de vérifier que tu ne t'es pas trompé(e) )

    Pour la 2 du B ! il me semble que miumiu, Luc et Doc ont pas mal avancé et donné plein de réponses .. Qu'est-ce que tu ne sais pas faire ?



  • Oup, c'étais pour la 2) du A, je ne sais pas dans quel sens la prendre...



  • Un grand classique pour savoir si la courbe représentant f est au dessus de celle de g, il faut regagrder si f(x) est supérieur à g(x). Il faut donc comparer f(x) et g(x). Or tu as vu dans les classes précedantes que, souvent, pour comparer 2 nombres il est plus facile de regarder le signe de leur différence !

    Donc calcule f(x) - g(x) et étudie le signe de ce que tu trouves !



  • Merci énormément quand c'est + f est au dessus quand c'est - f est en dessous de g



  • bonjour,j'ai aussi le même dm et j'ai un petit souci avec la question numéro 2 dans la partie A!!je ne comprend pas pourquoi luc a mi f(x)-g(x) et pourquoi factoriser!!
    merci d'avance!!

    bonne journée...😉



  • coucou
    je l'aime trop cet exo 😆 mais il est un peu vieux pour moi lol
    si tu pouvais détailler ta question et mettre les citations exactes parce que je n'ai pas envie de chercher dans tous les posts pour savoir où tu bloques
    merci

    de plus je crois que Zorro deux réponses plus haut a donné une partie de la réponse nan?!


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