Etude de l'intersection d'une hyperbole et d'une famille de paraboles



  • Bonjour a tous, voila j'ai un petit probleme avec cet énoncé et ses questions :

    (O;i;j) est un repère orthonormal du plan :

    Partie A :

    On désigne par P la courbe représentative de la fonction f définie dans R par : f(x) = 1/2 x (4 - x).

    H la courbe représentative de la fonction g définie dans R-{3} par :
    g(x) = (x - 4) / (x - 3)

    1. Déterminer algébriquement les coordonnées des points d'intersection des courbes P et H .

    2. Etudier algébriquement la position relative des courbes P et H .

    Voici les questions aux quelles je bloque :s enfin avant de venir poster le problème j'ai cherché de mon coté et j'en n'est déduit :

    1. on fait :
      y = f(x)
      y = g(x)

    donc : f(x) = g(x) Mais lorsque je calcule ça, cela me donne une équation du 3eme degrés dont on n'a pas encore vu les résolutions... mise apars une factorisation du type : ( x - y ) ( ax²+bx+c) mais généralement il nous la donne dans l'énoncé...

    1. on fait f(x)-g(x) on factorise cette forme et on fait un tableau de signe mais avant il faut résoudre le 1) je pense...

    Voila merci pour votre aide prennez votre temps ça presse pas 🙂 bonne journée 😉 a bientot .

    Amicalement Luc.



  • bonjour!!
    (très bon post 😉 )
    Alors pour la première question il faut bien faire f(x)=g(x) mais surtout tu ne développes jamais d'accord
    je vais te faire le début
    (0,5x)(4-x)=(x-4)/(x-3)
    le but c'est de tout passer de l'autre côté
    (0,5x)(4-x)(x-3)=(x-4)
    (0,5x)(4-x)(x-3)-(x-4)=0
    maintenant il y a une belle factorisation réfléchis un peu et tu devrais vite trouver 😉
    Dans ce cas tu auras quelque chose de la forme (a-x)(bx²-cx+d)=0
    dis moi si tu y arrives et on vera la suite 😄



  • Voila ce que j'ai fait :
    (0,5x)(4-x)(x-3)-(x-4)=0
    (0,5x)(4-x)(x-3)+(-x+4)=0
    on met en facteur (4-x)
    (4-x)[(0.5x)(x-3)+1]=0
    ce qui donne :
    (4-x)(x²-3x+1)=0

    c'est ça ?



  • oui mais il est passé où le 0,5 dans l'avant dernière ligne lol
    (4-x)(0,5x²-1,5x+1)=0
    (je mets 0,5 au lieu de 1/2 parce que c'est plus rapide mais sur la copie c'est mieux de mettre 1/2 😉 )



  • Et bien merci beaucoup pour votre aide j'ai terminer le 1) et fini le 2) 🙂

    En revanche il y a une partie B un peu plus délicate :s
    Je vous donne l'énoncé :

    Partie B :

    m désigne un nombre réel non nul. On désigne par Pm la parabole représentant la fonction fm définie dans R par :

    fm(x) = mx² - 4mx + 4m + 2

    1. Montré qu'un point M(x;y) appartient à la fois a l'hyperbole H et à la parabole Pm si, et seulement si, son abscisse x est solution de l'équation :

    mx³ - 7mx² + (16m + 1)x - 12m - 2 = 0 (E)

    Voila je ne comprend pas trés bien la question, faut t'il renplacé x des point d'intersection des courbes dans l'équation ci-dessus ou bien résoudre en trouvant m :s voila j'espere que vous pourez m'aider 🙂
    J'ai commencer en remplaçant les x par les x des points d'intersection des courbes et je trouve :
    m = 0 pour A(2;2)
    m = -1 pour B(1;3/2)
    m = -2/4 pour C(4;0)

    Je vous met la suite du problème

    1. a) Vérifier que (E) est vérifiée pour x = 2
      b) Déterminer les réels am , bm , cm tels que :
      mx³ - 7mx² + (16m + 1)x - 2 = (x-2)(amx² + bmx + cm)
      c) Déduire de la factorisation établie à la question b :
      .L'ensemble des nombres réels m pour lesquels les courbes Pm et H on un seul point commun.
      .L'ensemble des nombres réels m pour lesquels les courbes Pm et H on deux points communs.
      .L'ensemble des nombres réels m pour lesquels les courbes Pm et H on trois points communs.

    Le a et le b je pense les résoudre sans problème . mais le c) c'est a voir...

    Voila encore merci pour le temps que vous consacré a nous aidé, continuez comme ça vous faite un boulot énorme 🙂 Merci

    a bientot.

    Luc.



  • coucou!!
    Pour la première question :
    Je pense que tu dois faire fm(x)=g(x)
    imagine qu'on ne t'ai pas donné la formule c'est ça que tu aurais fait . Tu trouves en fesant cette méthode la formule qu'ils te donnent ensuite



  • Pour la question c
    tu as trouvé a, b et c
    t'es d'accord que lorsque:
    (x-2)(amx² + bmx + cm)=0
    on a g(x)=fm(x) donc un ou des points en commun
    en fait il faut résoudre l'équation
    (x-2) (amx² + bmx + cm)=0
    qui n'est valable que si
    (x-2)=0 ou (amx² + bmx + cm)=0
    pour n'avoir qu'un seul point en commun il faut que
    (amx² + bmx + cm)=0 n'est pas de solution parce qu'on en a déja une avec x=2
    voila je te laisse faire les calculs dis moi si tu comprends mon charabia 😆
    @+



  • Pour la 1) je tombe bien sur :
    mx³ - 7mx² + (16m + 1)x - 12m - 2 = 0

    Mais la question c'est de montré quelle est le point qui appartient au deux courbes :s cela suffit pour demontrer si fm(x) = g(x) alors il y a un point qui appartient aux deux courbes ?



  • Pour la question 2) a)
    si x = 2 alors quand on simplifie (E) on trouve m = 0

    Pour la question b)
    a = -7
    b = 17
    c = -2

    pour la c) j'ai besoin de savoir si cest juste le b) ^_^

    merci .



  • pour la qustion 1 moi je lis "montré qu'un point M appartient a ... si ..." et pas "Montré quel est le point M..."donc ba là on a montré qu'un point M qui appartient à la parabole et à l'hyperbole a pour abscisse l'équation donnée
    je regarde pour la question d'après



  • luc
    Pour la question 2) a)
    si x = 2 alors quand on simplifie (E) on trouve m = 0

    Pour la question b)
    a = -7
    b = 17
    c = -2

    pour la c) j'ai besoin de savoir si cest juste le b) ^_^

    merci .
    C'est bizare parce que je peux t'assurer que lorsque tu remplaçes a par -7 dans l'expression suivante :
    (x-2) (amx² + bmx + cm)
    et que tu développes tu obtients 7mx3-7mx^3 :rolling_eyes: nan?! et nous on veut mx3mx^3



  • Pour trouver a, b, c, on fait bien

    amx² = -7mx²
    bmx = (16m + 1)x
    cm = -12m -2

    je trouve donc :
    a = -7
    b = 17
    c = -14 ( d'ailleur j'avais fait une erreur la :s )

    je pense que cest cette méthode pour trouver a, b, c, voila je vous laisse vérifier

    Merci...



  • luc
    Pour trouver a, b, c, on fait bien

    amx² = -7mx²
    bmx = (16m + 1)x
    cm = -12m -2

    je trouve donc :
    a = -7
    b = 17
    c = -14 ( d'ailleur j'avais fait une erreur la :s )

    je pense que cest cette méthode pour trouver a, b, c, voila je vous laisse vérifier

    Merci...

    Pourquoi ne veux-tu pas développer lol

    • b) Déterminer les réels am , bm , cm tels que :
      mx³ - 7mx² + (16m + 1)x -12m?- 2 = (x-2)(amx² + bmx + cm)*
      donc tu ne t 'occupes pour le moment que du seconde terme de l'égalité que tu développes

    (x-2)(amx² + bmx + cm)= amx3amx^3 +bmx²+cmx-2amx²-2bmx-2cm
    = amx3amx^3 +(bm-2am)x² +(cm-2bm)x -2cm
    et maintenant tu peux t'occuper du premier membre de l'égalité je te laisse continuer 😄

    ps essaie de corriger l'énoncé du post du 28 à 8h59 parce que c'est complètement différent sans le 12m merci



  • Il n'y a pas le -12m je m'excuse pour cette erreur :s

    Ensuite d'aprés le développement que vous avez fait, je trouve :

    amx³ = mx³
    (bm-2am)x² = - 7mx²
    +(cm-2bm)x = (16m + 1)x

    et donc :
    a=1
    b=-5
    c=7

    c'est ça ?



  • luc
    Il n'y a pas le -12m je m'excuse pour cette erreur :s

    Ensuite d'aprés le développement que vous avez fait, je trouve :

    amx³ = mx³
    (bm-2am)x² = - 7mx²
    +(cm-2bm)x = (16m + 1)x

    et donc :
    a=1
    b=-5
    c=7

    c'est ça ?

    A mon humble avis sans le -12m on est mal je ne vois pas pourquoi dans la deuxième partie du problème ils l'auraient enlevé et en plus ça ne marche pas quand il n'y a pas le 12m lol
    bref
    pour a et b je suis d'accord mais pas pour le c
    (cm-2bm)x = (16m + 1)x
    cm+10m=16m+1
    je te laisse finir
    oui ça fait un c un peu étrange je te l'accorde
    pour vérifier après résoud -12m - 2 = -2cm tu va voir ça devrait marcher



  • je trouve çà :

    cm+10m=16m+1
    cm = 16m-10m +1
    c = (6m+1)/ m

    Trés bizarre :s

    je comprends plus rien lol

    je vous scan l'énoncé dans 2 minute 🙂



  • luc
    je trouve çà :

    cm+10m=16m+1
    cm = 16m-10m +1
    c = (6m+1)/ m

    Trés bizarre :s

    je comprends plus rien lol

    je vous scan l'énoncé dans 2 minute 🙂

    oui et bien c =6 +1/m
    je sais bien c'est bizare mais pourquoi pas notre raisonnement est bon m est un entier il ne varie pas donc c'est possible
    Ne marque pas ça sur ta copie mais pour te convaincre prend m=2 et x=1
    calcule
    mx³ - 7mx² + (16m + 1)x -12m- 2
    et
    (x-2)(amx² + bmx + cm) avec a , b et c que l'on a calculé
    tu verras ça fait la même chose ça ne prouve rien bien sûr mais c'est pour te montrer que ce n'est pas abérrant



  • [/quote]
    oui et bien c =6 +1/m
    [/quote]

    ce n'est pas : c = 6m+1/m ?

    Voila l'énoncé :
    [IMG]http:****[/IMG]

    Pour le 2)c) je ne comprend pas trés bien comment trouver les reels,

    avec c = 7 je trouve que
    (x-2)(amx² + bmx + cm)= 0
    x = 2 et (amx² + bmx + cm) n'a pas de solution Delta < 0

    Modification de message = suppression de l'image qui ne respecte pas le règlement du forum.



  • luc

    ce n'est pas : c = 6m+1/m ?

    c=6m+1m=6mm+1m=6+1mc= \frac{6m+1}m= \frac{6m}m + \frac{1}m = 6 + \frac{1}m
    merci d'avoir posté l'énoncé cela me permet de te dire que

    ama_m ≠am

    b m_m ≠bm

    cmc_m ≠cm
    et oui cela change tout!!
    ama_m veut dire "a en dépend de m" quand tu as étudié les suites tu avais UnU_n et pas Un parce que là ça veut dire U x n tu comprends?!
    Il va falloir reprendre pas mal de choses on a maintenant
    ama_m = m
    b m_m = -5m
    cmc_m = 6m +1
    on a bien des coefficients qui dépendent de m
    je persiste et signe qu'il manque le -12m
    lol
    Comment tu trouves c = 7 ?



  • Effectivement j'aurais du poster l'énoncé des le départ :s désolé

    je comprend le raisonnement :

    ama_m = m
    b m_m = -5m
    cmc_m = 6m +1

    Mais faut-il laisser comme ça ? ou bien trouvé un nombre pour a, b, et c ?



  • nan puisque dans l'énoncé on te demande de trouver ama_m , bmb_m et cmc_m il ne faut pas que les m te perturbent lol. ama_m est une entité (je ne sais pas si c'est le bon mot mais bon...) tu ne peux pas dissocier a et m
    je reprends mon exemple (j'espère que tu as vu les suites au fait lol)
    comment veut tu séparer U et n dans UnU_n
    Dans l'expression (x2)(am(x-2)(a_m+bm+b_m x + cmc_m)
    tu remplaçes par les valeurs que l'on a trouvé
    tu y arrives pour la suite?



  • Pour la 2)c) j'ai du mal a trouver l'ensemble des réels m en fonction de :

    ama_m = m
    b m_m = -5m
    cmc_m = 6m +1

    De plus je ne comprend pas trés bien vos explications pour les points en communs :s

    Merci pour vos efforts jusqu'à présent 🙂 c'est gentil de votre part 🙂



  • je te propose d'ouvrir une bouteille de champagne quand on aura fini lol pour les efforts qu'il a fallu fournir 😉
    bref
    donc H et PmP_m ont un ou des points en commun si

    (x2)(am(x-2)(a_m+bm+b_m x + cmc_m)=0 (cf enoncé)
    donc si
    (x-2) (mx² -5m x + 6m+1) =0 (cf nos laborieux calculs lol)
    d'ac?!
    ceci est vrai si
    (x-2)=0 ou (mx² -5m x + 6m+1)=0

    _Pour qu'il n'y ait qu'une solution à cette équation il faut
    (mx² -5m x + 6m+1) =0 n'ait pas de solutions car on a déja pour x=2 une solution

    calcul du discriminant Δ= 25m²-24m²-4m= m²-4m
    pour que l'équation n'ait pas de solutions il faut que Δ<0
    donc m²-4m<0 soit m(m-4)<0 tu fais un tableau de signe
    et tu as ton ensemble de solutions

    _Pour qu'il y ait deux solutions il faut que
    (mx² -5m x + 6m+1) =0 ait une solution donc que Δ=0...
    je te laisse finir dis moi si c'est plus clair :razz: 😄



  • Rebonjour,

    Merci, en effet, de respecter le règlement :

    un exo par sujet (c'est plus facile à suivre pour tout le monde)

    scans : voir ma réponse à l'autre sujet

    J'ai donc déplacé la 2ème partie de ton message ! il faut donc en changer le titre.



  • Je reviens sur cette exo car je n'arrive pas a rédiger la réponse du :

    1. a) Vérifier que (E) est vérifiée pour x = 2

    Je trouve m=0

    voila merci



  • pour la question 2 il suffit de remplaçer x par 2 dans l'expression suivante
    mx³ - 7mx² + (16m + 1)x - 12m - 2 = 0 (E)
    ce n'est pas parce que les m s'annulent que m=0



  • ah oui je suis bête ! mais comment rédiger la réponse ? aprés avoir fini le calcul biensur



  • Nous remarquons que pour x=2
    mx³ - 7mx² + (16m + 1)x - 12m - 2 = 0 donc x=2 est solution de (E)



  • Hello all !
    Je réouvre le sujet car je fais le même exercice, seulement je bloquait moi aussi sur le c !
    miumiu

    (x2)(am(x-2)(a_m+bm+b_m x + cmc_m)=0 (cf enoncé)
    donc si
    (x-2) (mx² -5m x + 6m+1) =0 (cf nos laborieux calculs lol)
    d'ac?!

    et apres avoir réfléchis a partir de vos réponse, je vois que le c = 6 + 1/m
    $c=%20\frac{6m+1}m=%20\frac{6m}m%20+%20\frac{1}m%20=%206%20+%20\frac{1}m$
    s'est transformé en 6m+1 !

    Par quel miracle lol
    du coup je ne sais plus comment arriver à la suite :frowning2:
    Pourriez vous m'éclairer s'il vous plait ?
    merci 😄



  • coucou
    oui alors c'était parce qu'il y avait eu un problème de comprehension
    nous avions commençé nos calculs par cm =-12m-2
    alors qu'en faite c'est cmc_m=-12m-2 grosse nuance
    do you understand? lol


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