Unicité de la décomposition en produit de facteurs premiers (ex - démo d'un thm de spé)



  • Salut à tous
    Voilà je dois démontrer un théorème grâce à une série de questions mais je ne comprends déjà pas la 1ère.

    Problème
    On se propose de démontrer la propriété suivante : "La décomposition d'un entier naturel supérieur ou égal à 2, en produit de facteurs premiers, est unique".

    Enoncé
    S'il existe des entiers naturels admettant deux décompositions distinctes, on désigne le plus petit de ces entiers naturels par n :

    n = pp_1p2p_2 .... prp_r = qq_1q2q_2 ..... qsq_s

    p1p_1, p2p_2, .... prp_r, q1q_1, q2q_2, ..... qsq_s sont des nombres premiers tels que :

    p1p_1 \leq p2p_2 \leq ... \leq prp_r et q1q_1 \leq q2q_2 \leq ... \leq qsq_s.

    1. Démontrer que si un même nombre premier p figure dans les 2 décompositions, alors n/p admet 2 décompositions distinctes. En déduire qu'aucun nombre premier ne figure dans les 2 décompositions.

    Voilà c'est la 1ère question. Donc je me disais que pour la 1ère partie de la question il fallait supposer que par exemple, p = p 3_3 et donc n/p se simplifiait et on obtenait une 1ère décomposition. et puis on posait ensuite p = q5q_5 (par exemple) et on obtenait une autre décomposition. Mais est ce que c'est valable? et par contre pour la 2ème partie de la question je suis bloquée.

    Merci de m'aider 😄

    P.S: Désolée pour les "inf.ou égal" mais le signe ne marche pas et ca met des points d'interrogations à la place.

    *Problème résolu avec ce code LaTeX
    [*tex]1$\leq[/mtex]sans , bien sûr, N.d.Z.



  • Oui c'est valable ; maintenant, on peut réitérer le procédé, jusqu'à expurger tous les facteurs premiers communs à ces deux décompositions de n : cela donne que l'entier n/(pqr...s) s'écrit de deux façons différentes comme produit de facteurs premiers de telle sorte qu'il n'y en ait aucun en commun aux deux décompositions, par exemple

    n/(pqr...s) = abc...d et n/(pqr...s) = xy...z.
    Donc ceci signifie que le nombre permier a divise wxy...z, mais alors cela ne se peut que si l'un parmi x, y, ... ou z est lui-même égal à a (propriété des nombres premiers si un nombre premier divise un produit, il divise l'un de ses facteurs). Ceci est contradictoire avec le fait qu'on a expurgé tous les facteurs communs aux deux décopositions.

    Il me semble que je vais un peu trop vite en écrivant cela... qu'en penses-tu ? peut-être les questions suivantes nous aideraient-elles à affiner le raisonnement. D'ailleurs, j'ai besoin de savoir ce qui a été vu en classe : le théorème de Bézout (ou de Bachet) ? le lemme de Gauss (ou d'Euclide) ?



  • euh oui c'est un peu rapide je n'ai pas tout compris. En classe on a vu le théorème de Bezout et aussi le théorème de Gauss oui.



  • Voilà la suite des questions si tu pense que ca peut aider :

    1. a) Dire pourquoi pp_12^2 \leq n et qq_12^2 \leq n .
      b) En déduire que pp_1q1q_1 < n .

    2. a) a = n - pp_1q1q_1, démontrer que a est divisible par p1p_1 et q1q_1 .
      b) démontrer que 1 < a < n
      c) démontrer que q1q_1 divise n/p1n/p_1

    voilà



  • Ah, ça me paraît un peu spécial comme approche ; attends que je réfléchisse - je ne te promets rien !



  • ok. merci



  • Ok j'ai trouvé : il s'agit d'une approche particulière (Zermelo, 1934) d'après ce que j'ai pu lire dans un bouquin de Warusfel.

    Question 1: garde bien à l'esprit que n est le plus petit des entiers ayant deux décompositions distinctes ; c'est justement cette minimalité qui permet de trouver une contradiction dans la deuxième partie de cette question (compare n et n/p).

    On verra la suite plus tard : il faut toujours être prudent avec les preuves de ce théorème, qui ont toujours une part délicate quelquepart...



  • Soit donc n le plus petit des entiers admettant une décomposition non-unique, ou plutôt deux décompositions distinctes

    n = pp_1p2p_2 .... prp_r = qq_1q2q_2 ..... qsq_s
    où les pip_i et les qjq_j sont des nombres premiers tels que :

    $
    p_1$ \leq p2p_2 \leq ... \leq prp_r \qquad et \qquad q1q_1 \leq q2q_2 \leq ... \leq qsq_s.

    Le fait que les deux décompositions soient distinctes signifie que l'un (au moins) des nombres premiers de la première décomposition ne figure pas dans la seconde.

    Alors si p est un nombre premier qui figure dans les deux décompositions, par exemple p = p1p_1 = q1q_1 (mais ça ne changerait rien de prendre pkp_k et qhq_h), on a d'une part

    n/p = p2p_2 .... prp_r,
    et d'autre part
    n/p = q2q_2 ..... qsq_s.

    Mais, p étant un nombre premier, on a p \geq 2, donc le nombre entier n/p est plus petit que n. Ainsi, le nombre n/p admet les deux décompositions ci-dessus ; or, celles-ci sont nécessairement distinctes, puisqu'on a simplifié par un facteur commun aux deux décompositions de n. Donc, la définition de n est contredite, puisqu'on peut trouver un nombre plus petit, qui admette deux décompositions distinctes.

    Cela signifie qu'il ne peut exister aucun nombre premier p commun aux deux décompositions de n : chaque facteur pip_i est différent de chaque facteur qjq_j.


    Et sinon, dans les questions 2a), b) et 3a), b) et c), qu'as-tu su faire ?



  • je comprends rien du tout ...

    Si on compare n et n/p , et bien n/p \leq n ...



  • Relis celui de 11:03 (il était peut-être pas affiché)

    Attention : n/p est strictement plus petit que n, c'est d'ailleurs le ressort de la preuve.



  • ok j'ai compris. la dernière publication n'était pas encore actualisée quand j'ai répondu.

    Ensuite pour la question 2) a), j'ai lu dans un livre le corollaire suivant : "Tout entier naturel 2 \leq n non premier admet au moins un diviseur premier p vérifiant : p2p^2 \leq n "

    Mais je ne sais pas si j'ai le droit de m'en servir.

    Si j'ai le droit de me servir de ça, alors la question 2b) ne pose pas de problème.
    puisque si pp_12^2 \leq n et qq_12^2 \leq n , alors pp_1$$^2$q1_1^2$ \leq n2n^2
    Or comme ce sont tous les 2 des entiers naturels non nuls, on a pp_1q1q_1 \leq n .

    Voilà où j'en suis



  • Oui, c'est ce dont il faut se servir : bien entendu, il faut savoir le démontrer. Dans quel livre l'as-tu lu ?

    En fait, le corollaire (comme tu dis) est plus précis : *si n est composé supérieur à 2, alors son plus petit diviseur premier p est tel que √p soit inférieur à n (ie p inférieur à n²). *

    Pourquoi cela ? en écrivant n=pn', on a n' supérieur à p, donc pn' supérieur à pp, c-à-d. n supérieur à p².

    On en donne aussi parfois une preuve par l'absurde : supposons que tous les diviseurs de n soit supérieurs strictement à √n, alors pn' serait strictement supérieur à n (avec les notations précédentes), ce qui est contradictoire.

    Attention: lorsque tu termines ton raisonnement, tu as une inégalité large, alors que le sujet en veut une stricte.



  • Je dois partir : poursuis tes efforts, poste ton éventuelle avancée et on reprend ça plus tard.

    @+



  • Je l'ai lu dans un livre de maths que j'ai emprunté au lycée : Déclic Maths Terminale S. La démonstration donnée dans le livre est très courte et peu claire donc elle n'est pas vraiment utilisable.

    Sinon comment peut-on arriver de 2 inégalités simples à une inégalité stricte?

    j'essaie de faire la suite des questions :

    1. a) a= n - pp_1q1q_1. Démontrer que a est divisible par p1p_1 et q1q_1.

    a= n - pp_1q1q_1
    Or n est divisible par p1p_1 et q1q_1 d'après l'énoncé et pp_1q1q_1 est lui même divisible par p1p_1 et q1q_1.
    Ainsi, n - pp_1q1q_1 est divisible par p1p_1 et q1q_1 et donc a est divisible par p1p_1 et q1q_1.

    b) je posterai la suite de mon raisonnement ensuite car je dois y aller



  • b) D'après la question 2b) , on a pp_1q1q_1 < n .
    Or n = a + pp_1q1q_1
    D'où pp_1q1q_1 < a + pp_1q1q_1
    C'est à dire 1 < a .

    Ensuite je n'arrive pas à trouver l'argument pour dire que a < n bien que cela me paraisse évident...

    voilà où en est mon raisonnement pour l'instant ...



  • Je commence par l'histoire de l'inégalité stricte, si tu veux bien.

    Donc partant de pp_12^2 \leq n et qq_12^2 \leq n, tu en déduis correctement que

    pp_1q1q_1 \leq n.
    Pourquoi cette inégalité est-elle stricte ? A mon avis parce que tu sais d'après la 1re question que chacun des pip_i est différent de chacun des qjq_j, donc pp_1q1q_1 ne peut pas être une décomposition du nombre composé n. Ainsi, on ne peut pas avoir n = pp_1q1q_1.



  • L'argument pour dire que a est plus petit que n strictement ? tu en as de bonnes, vu que a = n - pp_1q1q_1 et p1p_1 comme q1q_1 est plus grand que 2...

    Maintenant que tu as montré que 1 < a < n, qu'en déduis-tu pour la décomposition en facteurs permiers de a ?



  • D'accord pour l'histoire de l'inégalité stricte je pense que j'ai compris.

    Citation
    Maintenant que tu as montré que 1 < a < n, qu'en déduis-tu pour la décomposition en facteurs permiers de a ?

    euh je suppose qu'on doit en déduire qu'elle est unique ...



  • oui en effet ; et il est possible que ça serve dans la suite !



  • et il faut expliquer pourquoi on en déduit que la décomposition de a est unique j'imagine? parce que là je sais pas ...



  • Mais c'est immédiat : cela découle du fait que n est défini comme le plus petit entier admettant plusieurs décompositions ; or tu as prouvé que 1 < a < n, donc...



  • ah ok merci 🙂

    Il reste juste une dernière question : Démontrer que q1q_1 divise n / p1p_1 .

    voilà ce que j'ai répondu :

    On a n = a + pp_1q1q_1
    D'où n/p1n/p_1 = a/p1a/p_1 + q1q_1 puisque p1p_1 est différent de 0.
    Or q1q_1 divise a d'après 3)a) donc q1q_1 divise a/p1a/p_1.
    De plus, q1q_1 divise q1q_1 donc q1q_1 divise a/p1a/p_1 + q1q_1 c'est à dire q1q_1 divise n/p1n/p_1.

    Voilà. est ce cela?

    Ensuite , à la fin de la question, il est demandé de conclure.



  • J'aurais écrit qqpart que n/p1n/p_1 = p2p_2 p3p_3 .. psp_s pour y voir clair.

    On a aussi une décomposition unique pour a = p1p_1 b c ... d, où b, c, etc. et d sont des nombres premiers. Donc l'un de ceux-ci est q1q_1.

    Et donc ça me semble ok de dire ensuite que q1q_1 divise n/p1n/p_1.

    Mais alors, est-ce que n/p1n/p_1 possède plusieurs décompositions ?
    Et qu'est-ce que cela implique ?



  • Je n'ai pas très bien compris le dernier post. je suis un peu pommée là



  • ... tu veux dire paumée ? sinon, je ne peux rien pour toi lol

    Je dis que ta démarche est correct, à mon avis... je répète juste mes questions :

    • est-ce que n/p1n/p_1 possède plusieurs décompositions ?
    • qu'est-ce que cela implique ?


  • oui je voulais dire ça lol

    euh non je ne pense pas que n/p1n/p_1 possède plusieurs décompositions d'après la question 1) ce n'est pas possible.
    Cela implique que n a une décomposition unique puis p1p_1 est premier donc il n'a pas de décomposition à part lui même multiplié par 1 d'où, puisque n/p1n/p_1 n'admet pas plusieurs décompositions, alors n admet une décomposition unique.

    Ca m'a l'air assez fouilli ce que j'ai dit... désolée



  • Hum hum, pommée, c'est bien aussi d'un certain point de vue mdr

    Plus sérieusement, oui certes puisque <em>n/p1<em>n/p_1 est moindre que n, alors il admet une unique décompositon, laquelle contient nécessairement <em>q1<em>q_1 puisque <em>q1<em>q_1 divise <em>n/p1<em>n/p_1.

    Mézalors, <em>n/p1<em>n/p_1 s'écrit <em>q1<em>q_1 x y ... z, et donc n = p1p_1 q1q_1 x y ...z, ce qui est en contradiction avec 1).

    Ouf !



  • je sens une certaine moquerie ai je tort? lol

    en fait ce qui me pose problème dans les notations c'est les x y z
    ca me perturbe parce que je sais pas à quoi ca correspond



  • pas du tout : c'était une image mentale - et puis je te taquine un peu xpdr

    bien pour moi, implicitement, x, y etc., z sont les facteurs autres que q1q_1 de l'unique décomposition en produit de facteurs permiers de n/p1n/p_1.

    tu fais bien de me demander de préciser !


 

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