Unicité de la décomposition en produit de facteurs premiers (ex - démo d'un thm de spé)

Salut à tous
Voilà je dois démontrer un théorème grâce à une série de questions mais je ne comprends déjà pas la 1ère.

Problème
On se propose de démontrer la propriété suivante : "La décomposition d'un entier naturel supérieur ou égal à 2, en produit de facteurs premiers, est unique".

Enoncé
S'il existe des entiers naturels admettant deux décompositions distinctes, on désigne le plus petit de ces entiers naturels par n :

n = $p$ _1 $p_2$ .... $p_r$ = $q$ _1 $q_2$ ..... $q_s$

où $p_1$ , $p_2$ , .... $p_r$ , $q_1$ , $q_2$ , ..... $q_s$ sont des nombres premiers tels que :

$p_1$ $≤\leq$ $p_2$ $≤\leq$ ... $≤\leq$ $p_r$ et $q_1$ $≤\leq$ $q_2$ $≤\leq$ ... $≤\leq$ $q_s$ .

Démontrer que si un même nombre premier p figure dans les 2 décompositions, alors n/p admet 2 décompositions distinctes. En déduire qu'aucun nombre premier ne figure dans les 2 décompositions.

Voilà c'est la 1ère question. Donc je me disais que pour la 1ère partie de la question il fallait supposer que par exemple, p = p $_3$ et donc n/p se simplifiait et on obtenait une 1ère décomposition. et puis on posait ensuite p = $q_5$ (par exemple) et on obtenait une autre décomposition. Mais est ce que c'est valable? et par contre pour la 2ème partie de la question je suis bloquée.

Merci de m'aider

P.S: Désolée pour les "inf.ou égal" mais le signe ne marche pas et ca met des points d'interrogations à la place.

*Problème résolu avec ce code LaTeX
[*tex]1$\leq[/mtex]sans , bien sûr, N.d.Z.

Oui c'est valable ; maintenant, on peut réitérer le procédé, jusqu'à expurger tous les facteurs premiers communs à ces deux décompositions de n : cela donne que l'entier n/(pqr...s) s'écrit de deux façons différentes comme produit de facteurs premiers de telle sorte qu'il n'y en ait aucun en commun aux deux décompositions, par exemple

n/(pqr...s) = abc...d et n/(pqr...s) = xy...z.
Donc ceci signifie que le nombre permier a divise wxy...z, mais alors cela ne se peut que si l'un parmi x, y, ... ou z est lui-même égal à a (propriété des nombres premiers si un nombre premier divise un produit, il divise l'un de ses facteurs). Ceci est contradictoire avec le fait qu'on a expurgé tous les facteurs communs aux deux décopositions.

Il me semble que je vais un peu trop vite en écrivant cela... qu'en penses-tu ? peut-être les questions suivantes nous aideraient-elles à affiner le raisonnement. D'ailleurs, j'ai besoin de savoir ce qui a été vu en classe : le théorème de Bézout (ou de Bachet) ? le lemme de Gauss (ou d'Euclide) ?

euh oui c'est un peu rapide je n'ai pas tout compris. En classe on a vu le théorème de Bezout et aussi le théorème de Gauss oui.

Voilà la suite des questions si tu pense que ca peut aider :

a) Dire pourquoi $p$ _1 $^2$ $≤\leq$ n et $q$ _1 $^2$ $≤\leq$ n .
b) En déduire que $p$ _1 $q_1$ < n .
a) a = n - $p$ _1 $q_1$ , démontrer que a est divisible par $p_1$ et $q_1$ .
b) démontrer que 1 < a < n
c) démontrer que $q_1$ divise $n/p_1$

voilà

Ah, ça me paraît un peu spécial comme approche ; attends que je réfléchisse - je ne te promets rien !

ok. merci

Ok j'ai trouvé : il s'agit d'une approche particulière (Zermelo, 1934) d'après ce que j'ai pu lire dans un bouquin de Warusfel.

Question 1: garde bien à l'esprit que n est le plus petit des entiers ayant deux décompositions distinctes ; c'est justement cette minimalité qui permet de trouver une contradiction dans la deuxième partie de cette question (compare n et n/p).

On verra la suite plus tard : il faut toujours être prudent avec les preuves de ce théorème, qui ont toujours une part délicate quelquepart...

Soit donc n le plus petit des entiers admettant une décomposition non-unique, ou plutôt deux décompositions distinctes

n = $p$ _1 $p_2$ .... $p_r$ = $q$ _1 $q_2$ ..... $q_s$
où les $p_i$ et les $q_j$ sont des nombres premiers tels que :

$
p_1$ $≤\leq$ $p_2$ $≤\leq$ ... $≤\leq$ $p_r$ $\qquad$ et $\qquad$ $q_1$ $≤\leq$ $q_2$ $≤\leq$ ... $≤\leq$ $q_s$ .

Le fait que les deux décompositions soient distinctes signifie que l'un (au moins) des nombres premiers de la première décomposition ne figure pas dans la seconde.

Alors si p est un nombre premier qui figure dans les deux décompositions, par exemple p = $p_1$ = $q_1$ (mais ça ne changerait rien de prendre $p_k$ et $q_h$ ), on a d'une part

n/p = $p_2$ .... $p_r$ ,
et d'autre part
n/p = $q_2$ ..... $q_s$ .

Mais, p étant un nombre premier, on a p $≥\geq$ 2, donc le nombre entier n/p est plus petit que n. Ainsi, le nombre n/p admet les deux décompositions ci-dessus ; or, celles-ci sont nécessairement distinctes, puisqu'on a simplifié par un facteur commun aux deux décompositions de n. Donc, la définition de n est contredite, puisqu'on peut trouver un nombre plus petit, qui admette deux décompositions distinctes.

Cela signifie qu'il ne peut exister aucun nombre premier p commun aux deux décompositions de n : chaque facteur $p_i$ est différent de chaque facteur $q_j$ .

Et sinon, dans les questions 2a), b) et 3a), b) et c), qu'as-tu su faire ?

je comprends rien du tout ...

Si on compare n et n/p , et bien n/p $≤\leq$ n ...

Relis celui de 11:03 (il était peut-être pas affiché)

Attention : n/p est strictement plus petit que n, c'est d'ailleurs le ressort de la preuve.

ok j'ai compris. la dernière publication n'était pas encore actualisée quand j'ai répondu.

Ensuite pour la question 2) a), j'ai lu dans un livre le corollaire suivant : "Tout entier naturel 2 $≤\leq$ n non premier admet au moins un diviseur premier p vérifiant : $p^2$ $≤\leq$ n "

Mais je ne sais pas si j'ai le droit de m'en servir.

Si j'ai le droit de me servir de ça, alors la question 2b) ne pose pas de problème.
puisque si $p$ _1 $^2$ $≤\leq$ n et $q$ _1 $^2$ $≤\leq$ n , alors $p$ _1$$^2$q $_1$ ^2$ $≤\leq$ $n^2$
Or comme ce sont tous les 2 des entiers naturels non nuls, on a $p$ _1 $q_1$ $≤\leq$ n .

Voilà où j'en suis

Oui, c'est ce dont il faut se servir : bien entendu, il faut savoir le démontrer. Dans quel livre l'as-tu lu ?

En fait, le corollaire (comme tu dis) est plus précis : *si n est composé supérieur à 2, alors son plus petit diviseur premier p est tel que √p soit inférieur à n (ie p inférieur à n²). *

Pourquoi cela ? en écrivant n=pn', on a n' supérieur à p, donc pn' supérieur à pp, c-à-d. n supérieur à p².

On en donne aussi parfois une preuve par l'absurde : supposons que tous les diviseurs de n soit supérieurs strictement à √n, alors pn' serait strictement supérieur à n (avec les notations précédentes), ce qui est contradictoire.

Attention: lorsque tu termines ton raisonnement, tu as une inégalité large, alors que le sujet en veut une stricte.

Je dois partir : poursuis tes efforts, poste ton éventuelle avancée et on reprend ça plus tard.

@+

Je l'ai lu dans un livre de maths que j'ai emprunté au lycée : Déclic Maths Terminale S. La démonstration donnée dans le livre est très courte et peu claire donc elle n'est pas vraiment utilisable.

Sinon comment peut-on arriver de 2 inégalités simples à une inégalité stricte?

j'essaie de faire la suite des questions :

a) a= n - $p$ _1 $q_1$ . Démontrer que a est divisible par $p_1$ et $q_1$ .

a= n - $p$ _1 $q_1$
Or n est divisible par $p_1$ et $q_1$ d'après l'énoncé et $p$ _1 $q_1$ est lui même divisible par $p_1$ et $q_1$ .
Ainsi, n - $p$ _1 $q_1$ est divisible par $p_1$ et $q_1$ et donc a est divisible par $p_1$ et $q_1$ .

b) je posterai la suite de mon raisonnement ensuite car je dois y aller

b) D'après la question 2b) , on a $p$ _1 $q_1$ < n .
Or n = a + $p$ _1 $q_1$
D'où $p$ _1 $q_1$ < a + $p$ _1 $q_1$
C'est à dire 1 < a .

Ensuite je n'arrive pas à trouver l'argument pour dire que a < n bien que cela me paraisse évident...

voilà où en est mon raisonnement pour l'instant ...

Je commence par l'histoire de l'inégalité stricte, si tu veux bien.

Donc partant de $p$ _1 $^2$ $≤\leq$ n et $q$ _1 $^2$ $≤\leq$ n, tu en déduis correctement que

$p$ _1 $q_1$ $≤\leq$ n.
Pourquoi cette inégalité est-elle stricte ? A mon avis parce que tu sais d'après la 1re question que chacun des $p_i$ est différent de chacun des $q_j$ , donc $p$ _1 $q_1$ ne peut pas être une décomposition du nombre composé n. Ainsi, on ne peut pas avoir n = $p$ _1 $q_1$ .

L'argument pour dire que a est plus petit que n strictement ? tu en as de bonnes, vu que a = n - $p$ _1 $q_1$ et $p_1$ comme $q_1$ est plus grand que 2...

Maintenant que tu as montré que 1 < a < n, qu'en déduis-tu pour la décomposition en facteurs permiers de a ?

D'accord pour l'histoire de l'inégalité stricte je pense que j'ai compris.

Citation
Maintenant que tu as montré que 1 < a < n, qu'en déduis-tu pour la décomposition en facteurs permiers de a ?

euh je suppose qu'on doit en déduire qu'elle est unique ...

oui en effet ; et il est possible que ça serve dans la suite !

et il faut expliquer pourquoi on en déduit que la décomposition de a est unique j'imagine? parce que là je sais pas ...

Mais c'est immédiat : cela découle du fait que n est défini comme le plus petit entier admettant plusieurs décompositions ; or tu as prouvé que 1 < a < n, donc...

ah ok merci

Il reste juste une dernière question : Démontrer que $q_1$ divise n / $p_1$ .

voilà ce que j'ai répondu :

On a n = a + $p$ _1 $q_1$
D'où $n/p_1$ = $a/p_1$ + $q_1$ puisque $p_1$ est différent de 0.
Or $q_1$ divise a d'après 3)a) donc $q_1$ divise $a/p_1$ .
De plus, $q_1$ divise $q_1$ donc $q_1$ divise $a/p_1$ + $q_1$ c'est à dire $q_1$ divise $n/p_1$ .

Voilà. est ce cela?

Ensuite , à la fin de la question, il est demandé de conclure.

J'aurais écrit qqpart que $n/p_1$ = $p_2$ $p_3$ .. $p_s$ pour y voir clair.

On a aussi une décomposition unique pour a = $p_1$ b c ... d, où b, c, etc. et d sont des nombres premiers. Donc l'un de ceux-ci est $q_1$ .

Et donc ça me semble ok de dire ensuite que $q_1$ divise $n/p_1$ .

Mais alors, est-ce que $n/p_1$ possède plusieurs décompositions ?
Et qu'est-ce que cela implique ?

Je n'ai pas très bien compris le dernier post. je suis un peu pommée là

... tu veux dire paumée ? sinon, je ne peux rien pour toi lol

Je dis que ta démarche est correct, à mon avis... je répète juste mes questions :

est-ce que $n/p_1$ possède plusieurs décompositions ?
qu'est-ce que cela implique ?

oui je voulais dire ça lol

euh non je ne pense pas que $n/p_1$ possède plusieurs décompositions d'après la question 1) ce n'est pas possible.
Cela implique que n a une décomposition unique puis $p_1$ est premier donc il n'a pas de décomposition à part lui même multiplié par 1 d'où, puisque $n/p_1$ n'admet pas plusieurs décompositions, alors n admet une décomposition unique.

Ca m'a l'air assez fouilli ce que j'ai dit... désolée

Hum hum, pommée, c'est bien aussi d'un certain point de vue mdr

Plus sérieusement, oui certes puisque $em>n/p_1$ est moindre que n, alors il admet une unique décompositon, laquelle contient nécessairement $em>q_1$ puisque $em>q_1$ divise $em>n/p_1$ .

Mézalors, $em>n/p_1$ s'écrit $em>q_1$ x y ... z, et donc n = $p_1$ $q_1$ x y ...z, ce qui est en contradiction avec 1).

Ouf !

je sens une certaine moquerie ai je tort? lol

en fait ce qui me pose problème dans les notations c'est les x y z
ca me perturbe parce que je sais pas à quoi ca correspond

pas du tout : c'était une image mentale - et puis je te taquine un peu xpdr

bien pour moi, implicitement, x, y etc., z sont les facteurs autres que $q_1$ de l'unique décomposition en produit de facteurs permiers de $n/p_1$ .

tu fais bien de me demander de préciser !