Suites conjointes (géométrique, limite, et s. adjacentes)



  • Bonjour !

    On considère les deux suites (un)(u_n) et (vn)(v_n) définies pour tout entier n plus grand ou egal à 1 par

    u1=1 et un+1=un+2vn3u_1=1\quad \text{ et }\quad u_{n+1}= \frac{u_n+2v_n}3

    v1=12 et vn+1=un+3vn4v_1=12 \quad \text{ et }\quad v_{n+1}=\frac{u_n+3v_n}4
    On pose wn=vnunw_n=v_n-u_n.

    1. Comment démontrer que (wn)(wn) est géometrique et préciser sa limite?

    2. Comment étudier le sens de variation des suites (un)(un) et (vn)(vn) pour démontrer qu'elles sont adjacentes?

    Merci d'avance pour votre aide.



  • Pour 1.

    Je pense que l'on peut toujours mettre en oeuvre la méthode classique où l'on cherche à exprimer wn+1w_{n+1} en fonction de wnw_{n} ; il fautdra juste ne pas trop se mélanger les pinceaux entre les un+1u_{n+1}, vn+1v_{n+1}, unu_{n} et vnv_{n} !

    Lorsque tu auras une expression de la forme wn+1=kwnw_{n+1}= k w_n, et si |k| <1, alors tu pourras en déduire que cette suite tend vers 0.



  • J'ai une dernière quesion sur les suites
    On considère la suite (tn) définie, pour tout entier naturel n, par tn=3Un+8Vn.
    Comment démontrer que cette suite est constante???
    Merci d'avance



  • Il suffit de vérifier que pour tout n, tu as tn+1=tnt_{n+1} = t_n, ce qui se fait en remplaçant un+1u_{n+1} et vn+1v_{n+1} par leurs expressions en fonction de unu_n et vnv_n respectivement dans l'expression de tn+1t_{n+1} et en calculant...



  • je n'ai rien compris mdr dsl



  • Voca : "être constant" signifie, pour une suite, "garder la même valeur d'un rang à l'autre".



  • oui ça j'ai bien compris je dois montrer que tn+1= tn mais je ne sais pas comment j'ai pas compris



  • Ah ok ! alors tu écris, par définition

    tn+1=3un+1+8vn+1=t_{n+1} = 3u_{n+1}+8v_{n+1} = \cdots
    en remplaçant un+1u_{n+1} par ... et vn+1v_{n+1} par ... tu sauras bien quoi ! à la fin de (longs) calculs tu dois retomber sur l'expression de tnt_n.



  • donc si je comprend bien ça fait :

    tn+1=3×un+2vn3+8×un+3vn4t_{n+1} = 3\times \frac{u_n+2v_n}3 + 8\times\frac{u_n+3v_n}4 ?
    mais comment je fait en gros pour retomber sur tnt_n ?
    merci



  • simplifie les fractions et développe !


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