Suites conjointes (géométrique, limite, et s. adjacentes)

Bonjour !

On considère les deux suites $u_n)$ et $v_n)$ définies pour tout entier n plus grand ou egal à 1 par

$un+1=un+2vn3u_1=1\quad \text{ et }\quad u_{n+1}= \frac{u_n+2v_n}3$

$vn+1=un+3vn4v_1=12 \quad \text{ et }\quad v_{n+1}=\frac{u_n+3v_n}4$
On pose $w_n=v_n-u_n$ .

Comment démontrer que $(w n)$ est géometrique et préciser sa limite?
Comment étudier le sens de variation des suites $(u n)$ et $(v n)$ pour démontrer qu'elles sont adjacentes?

Merci d'avance pour votre aide.

Pour 1.

Je pense que l'on peut toujours mettre en oeuvre la méthode classique où l'on cherche à exprimer $w_{n+1}$ en fonction de $w_{n}$ ; il fautdra juste ne pas trop se mélanger les pinceaux entre les $u_{n+1}$ , $v_{n+1}$ , $u_{n}$ et $v_{n}$ !

Lorsque tu auras une expression de la forme $w_{n+1}= k w_n$ , et si |k| <1, alors tu pourras en déduire que cette suite tend vers 0.

J'ai une dernière quesion sur les suites
On considère la suite (tn) définie, pour tout entier naturel n, par tn=3Un+8Vn.
Comment démontrer que cette suite est constante???
Merci d'avance

Il suffit de vérifier que pour tout n, tu as $t_{n+1} = t_n$ , ce qui se fait en remplaçant $u_{n+1}$ et $v_{n+1}$ par leurs expressions en fonction de $u_n$ et $v_n$ respectivement dans l'expression de $t_{n+1}$ et en calculant...

je n'ai rien compris mdr dsl

Voca : "être constant" signifie, pour une suite, "garder la même valeur d'un rang à l'autre".

oui ça j'ai bien compris je dois montrer que tn+1= tn mais je ne sais pas comment j'ai pas compris

Ah ok ! alors tu écris, par définition

$tn+1=3un+1+8vn+1=⋯t_{n+1} = 3u_{n+1}+8v_{n+1} = \cdots$
en remplaçant $u_{n+1}$ par ... et $v_{n+1}$ par ... tu sauras bien quoi ! à la fin de (longs) calculs tu dois retomber sur l'expression de $t_n$ .

donc si je comprend bien ça fait :

$tn+1=3×un+2vn3+8×un+3vn4t_{n+1} = 3\times \frac{u_n+2v_n}3 + 8\times\frac{u_n+3v_n}4$ ?
mais comment je fait en gros pour retomber sur $t_n$ ?
merci

simplifie les fractions et développe !