pour préparer le bac (complexe)

Voici un exercice de mon livre scolaire, j'ai beaucoup de mal à le faire si vous pouvez me débloquer rien qu'à la première question...

Enoncé:
Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct ( O; u, v)→
On considère les points $M_n$ d'affixe:
$z_n$ = $1/2i)^n$ (1+ i√3) ,
ou n est un entier naturel.

Exprimer $z_{n+1}$ en fonction de $z_n$ , puis $z_n$ en fonction de $z_0$ et n .
Donner $z_0$ , $z_1$ , $z_2$ , $z_3$ , $z_4$ sous forme algébrique et sous forme trigonométrique.
Placer les points $M_0$ , $M_1$ , $M_2$ , $M_3$ , $M_4$ , (unité graphique : 4 cm).
Déterminer la distance $OM_n$ en fonction de n.
a) Montrer que $M$ N $M</em>{n+1}$ =(√ $5)/(2^n$ ), pour tout n entier naturel.
b) On pose:
$L_n$ = ∑$$^n$_{k=0}$ $M$ k $M</em>{k+1}$
(C'est à dire $L_n$ = $M$ _0 $M_1$ + $M$ _1 $M_2$ +... $+ M$ n $M</em>{n+1}$ )
Déterminer $L_n$ en fonction de n puis la limite de $L_n$ quand n tend vers +∞.

5)Déterminer une mesure de l'angle $OM_0$ )→, $OM_n$ )→ ) en fonction de n.
Pour quelles valeurs de n les points O, $M_0$ Et $M_n$ sont-ils alignés?

je vous remercie d'avance!!

Bonjour,

Et dans tout cela tu as bien dû chercher quelquechose ! et trouver certaines réponses !

Sinon tu saurais nous dire ce que tu ne comprends pas, pour qu'on puisse t'aider de façon constructive.

Hey bien oui seulement ce sont de vagues réponses très incertaines!
Pour la premiere:
$z_{n+1}$ = $z_n$ ×z à partir de là je suis bloquée parce que je n'ai pas z. Ensuite pour exprimer $z_n$ en fonction de $z_0$ et n je n'ai pas trouvé.

J'ai trouvé ensuite les formes algébriques de chaque z:
$z_0$ = 1 +i√3
$z_1$ =1/2 i - (√3)/2
$z_2$ =-1/4 -(√3)/4 i
$z_3$ = -(√3)/8 -1/8 i
$z_4$ =1/16 +(√3)/16 i

forme trigonométrique:
$z_0$ =2( cos∏/3 + i sin∏/3)
$z_1$ =1( cos∏/3 + i sin(-∏/3))
$z_2$ =1/2( cos(-∏/3) + i sin(-∏/3))
$z_3$ =1/4( cos ∏/6 + i sin(-∏/6))
$z_4$ =1/8 ( cos∏/3 + i sin ∏/3)

voila pour la 1ère question!! Est-ce bon?
auriez-vous un indice pour la première partie de la première question?
merci

Avant d'écrire $z_{n+1}$ en fonction de $z_n$ , tu devrais commencer par écrire $z_{n+1}$ en utilisant la définition de $z_n$

Puis tu remarqueras que tu peux utiliser $a^n$ . $a^m$ = $a^{n+m}$

Alors on a:
$z_{n+1}$ = (1/2 $i)^{n+1}$ (1+i√3)
Mais après je ne vois pas le rapport avec $a^n$ . $a^m$ = $a^{n+m}$
Je ne comprends pas!!

est ce que mes résultats du dessus sont bon?
merci de m'aider!!

pour MnMn+1 tu fais lZn+Zn+1l et en développant tu retrouves racine de cinq sur 2n , pour la trois , tu tombes sur 2/2n .voilà , mademoiselle levi , si vous savez faire la question cinq se serait sympa de m'aider , merci d'avance et bonne soirée

Amel
Alors on a:
$z_{n+1}$ = (1/2 $i)^{n+1}$ (1+i√3)
Mais après je ne vois pas le rapport avec $a^n$ . $a^m$ = $a^{n+m}$
Je ne comprends pas!!

Juste pour me justifier !

Dans (1/2 $i)^{n+1}$ tu ne reconnais pas (1/2 $i)^{n+m}$ qui serait dela forme $a^{n+m}$ !

$zn+1=(1/2i)_∩$ (1/2i)(1+i√3)=zn*(1/2i)
moi je bloque pour la limite , quelqu'un pourrait-il m'aider svp?
je trouve 2√5(1-Mn+1Mn+2)est-ce bon?
comment faire la limite de ça après , merci d'avance

c'est la question 4b , pardon de ne pas l'avoir précisé