Encadrement de x-}exp(x) sur ]- l'infini; 0] et approximation de e

Bonjour à tous :), je n'arrive pas à faire ce DM et si quelqu'un pouvait se dévouer pour m'aider celui-ci ou celle-ci sera le bien venu :).

Voilà l'énoncé:

A Positions relatives de trois courbes

Le plan est rapporté à un répère orthogonal.

Etudier les variations de $F_1$ définie sur R par x→exp(x)-(1+x) puis en déduire son signe.

Procéder de même avec la fonction $F_2$ : x→ exp(x)-(1+x+x²/2).

En déduire que, pour tout réel x ∈]-∞; 0], 1+x≤exp(x)≤1+x+x²/2.
Montrer que les courbes $C_{ 1}$ , T et $C_2$ , représentant respectivement les fonctions x→ 1+x, x→ exp(x) et x→ 1+x+x²/2, admettent la même tangente au point d'abscisse 0 (on dit qu'elles sont tangentes au point d'abscisse 0).

B Amélioration de l'encadrement et approximation de e

A l'aide de nouvelles fontions $F_3$ , $F_4$ , $F_5$ et $F_6$ bien choisies, établir, comme dans les questions A1 et A2, que, pour tout réel x ∈ ]- ∞; 0] , on a successivement :

1+x+x²/2!+x³/3! ≤ exp (x)≤ 1+x+x²/2!+x³ $3!+x^4$ /4!

1+x+x²/2!+x³/3! $x$ ^4 $4!+x^{ 5}$ /5! ≤ exp (x) ≤1+x+x²/2!+x³ $/ 3! + x$ ^4 $/ 4!! + x$ ^5 $5!+x^6$ /6!

En donnant à x une valeur particulière, donner un encadrement de 1/e.
En déduir une valeur approchée de e à 10^-2 près.

Voilà désolé pour la longueur, toute aide sera bien évidement la bien venue, merci d'avance !

P.S : J'ai trouvé les variations de F1 et son signe, normalement c'est décroissant en ]-∞; 0] (donc négatif) et croissant en [0;+∞[ (donc positif). J'espère que c'est bon et après j'ai trouvé que F'$$_2$=F_1$.

mercury
Bonjour à tous :), je n'arrive pas à faire ce DM et si quelqu'un pouvait se dévouer pour m'aider celui-ci ou celle-ci sera le bien venu :).

Voilà l'énoncé:

A Positions relatives de trois courbes

Le plan est rapporté à un répère orthogonal.

Etudier les variations de $F_1$ définie sur R par x→exp(x)-(1+x) puis en déduire son signe.

Procéder de même avec la fonction $F_2$ : x→ exp(x)-(1+x+x²/2).

En déduire que, pour tout réel x ∈]-∞; 0], 1+x≤exp(x)≤1+x+x²/2.
Montrer que les courbes $C_{ 1}$ , T et $C_2$ , représentant respectivement les fonctions x→ 1+x, x-} exp(x) et x-} 1+x+x²/2, admettent la même tangente au point d'abscisse 0 (on dit qu'elles sont tangentes au point d'abscisse 0).

B Amélioration de l'encadrement et approximation de e

A l'aide de nouvelles fontions $F_3$ , $F_4$ , $F_5$ et $F_6$ bien choisies, établir, comme dans les questions A1 et A2, que, pour tout réel x ∈ ]- ∞; 0] , on a successivement :

1+x+x²/2!+x³/3! ≤ exp (x)≤ 1+x+x²/2!+x³ $3!+x^4$ /4!

1+x+x²/2!+x³/3! $x$ ^4 $4!+x^{ 5}$ /5! ≤ exp (x) ≤1+x+x²/2!+x³ $/ 3! + x$ ^4 $/ 4!! + x$ ^5 $5!+x^6$ /6!

En donnant à x une valeur particulière, donner un encadrement de 1/e.
En déduir une valeur approchée de e à 10^-2 près.

Voilà désolé pour la longueur, toute aide sera bien évidement la bien venue, merci d'avance !

P.S : J'ai trouvé les variations de F1 et son signe, normalement c'est décroissant en ]-∞; 0] (donc négatif) et croissant en [0;+∞[ (donc positif). J'espère que c'est bon et après j'ai trouvé que F'$$_2$=F_1$.

bonsoir (ou plutôt bonjour)
tu as une calculette?
je peux t'assurer que $F_1$ (x) n'est jamais négative...
ce n'est pas parce que $F_1$ est décroissante qu'elle est négative regarde la courbe de x² elle est décroissante sur -l'infinie _0 et pourtant x² est-il négatif? Utilise les limites

plutôt bonsoir

lim exp(x)= +∞ et lim -(1+x)=+∞ donc $F_1$ est positive
x→-∞
sur ]-∞;0] c'est ça ? (désolé je suis vraiment trop nulle :frowning2: )

mercury
plutôt bonsoir

lim exp(x)= +∞ et lim -(1+x)=+∞ donc $F_1$ est positive
x→-∞
sur ]-∞;0] c'est ça ? (désolé je suis vraiment trop nulle :frowning2: )
nan !!
Ne dis pas que tu es nulle dis que tu n'es pas attentive (personne n'est nulle )
bref ton raisonnement est presque bon il n'est pas suffisant
sur ]-∞;0] $F_1$ est strictement décroissante ,
$lim⁡x→−∞f1(x)=+∞\lim _{x \rightarrow {-} \infty}f1(x) = {+} \infty$

et
$F_1$ (0) =0
donc $F_1$ est positive sur ]-∞;0]
parce que tu vois par exemple x² -1 et bien
$lim⁡x→−∞(x2−1)=+∞\lim _{x \rightarrow {-} \infty}(x^2-1) = {+} \infty$
elle est aussi décroissante sur ]-∞;0] mais elle est négative sur [-1;0]...

mercury

Montrer que les courbes $C_{ 1}$ , T et $C_2$ , représentant respectivement les fonctions x→ 1+x, x-} exp(x) et x-} 1+x+x²/2, admettent la même tangente au point d'abscisse 0 (on dit qu'elles sont tangentes au point d'abscisse 0).

Bonjour,

Je ne comprends pas ces expressions !!!!

x→ 1+x, x-} exp(x) et x-} 1+x+x²/2,

merci de les réécrire de façon plus compréhensible

Merci beaucoup Galaxie maintenant je crois que j'ai compris

et x→ 1+x, x-} exp(x) et x-} 1+x+x²/2,
désolé j'ai oublié de modifier :rolling_eyes:

c'est x→ 1+x, x→ exp(x) et x→ 1+x+x²/2, (au départ je ne savais pas comment faire les flêche lol)

Et donc après comment dois-je faire pour F2 j'ai trouvé que F'$$2$=F{ 1}$ mais pour les variations je n'y arrive pas :frowning2:, merci d'avance

or tu viens de démontrer que pour tout x $F_1$ (x) est ?????

Quand on étudie une fonction f, pourquoi calcule-t-on f '(x) ? Qu'est-ce qu'on cherche ? et pourquoi ?

Pourquoi tout le monde m'appelle galaxie :frowning2: lol moi c'est miumiu :razz:
bref après cette petit digression revenons à nos moutons
ok j'ai vérifé je trouve comme toi pour F2
très bien alors nous connaissons le signe de F1 (positif partout)
or F1 est la dérivée de F2
quand sur un intervalle la dérivée d'une fonction est positive alors la fonction est ... sur cet intervalle

*désolée zorro je n'avais pas vu que tu avais répondu *

Bonsoir

$F_1$ est positive et décroissante sur ]-∞;0] et positive et croissante sur [0;+∞[
on calcule f'(x) pour trouver les variations de f, on cherche les variations de $F_2$ donc comme F'$$_2$=F_1$ alors $F_2$ est positive et décroissante sur ]-∞;0] et positive et croissante sur [0;+∞[ c'est ça ?

Merci

de rien miumiu !!! on a répondu dans la même minute et pour quelques secondes ma réponse est arrivée la première ...

de toute façon on a eu le même discours donc on ne perturbe pas mercury !

zorro :

mercury: presque
ne t'occupe plus des variations de F1
quand tu étudies la dérivée d'une fonction tu ne t'intéresses qu'au signe où est-ce que la dérivée est positive, négative, nulle pour après pouvoir conclure sur les variations de la fonction.
bon et bien là il se trouve que la fonction c'est F2 que la dérivée c'est F1 on ne s'occupe que du signe de F1 qui est positif partout donc F2 est ...

quand sur un intervalle la dérivée d'une fonction est positive alors la fonction est positive sur cet intervalle c'est ça

P.S : désolé miumiu, c'est parce que galaxie c'est écrit en plus gros (et je suis un peu bibleuse →bigleuse )

Bon miumiu, je te laisse avec mercury (la bibleuse !!! ... est-elle une fervente lectrice de la bible ????) et ses incohérences !

Bonne nuit à tous !

mdr zorro (pardon pour le langage sms )
rha on va reprendre les bases
f(x)=x pour tout x appartenant a R
f'(x)=1
f'(x) est strictement positif
donc f est strictement croissante sur R
ok maintenant
F2(x) =...
F'2(x)=F1(x)
F1(x) est strictement positive
donc F2 est ...
je ne voies pas comment faire plus simple lol

Pfff vraiment désolé je suis trop tête en l'air "bibleuse" la honte , alors désolé miumiu donc

F2(x) = exp(x)-(1+x+x²/2)
F'2(x)=F1(x)
F1(x) est strictement positive
donc F2 est strictement croissante sur R.

Bon là j'espère que j'ai bien compris

bravo
je suis fière de toi petit scarabé

je crois que moi aussi j'ai besoin de dormir

Merci !!!

Ca a été long désolé et un grand merci et si tu es fatigué je vais te laisser aller dormir , encore merci et à demain j'espère pour la suite du DM si ça ne t'embête pas trop

Bonne nuit

Est ce que quelqu'un peut m'aider pour la A2

merci d'avance

bonjour mercury ça fesait longtemps lol
alors tu as bien étudié F2 tu as vu qu'elle était croissante tu as calculé ses limites en -∞ en 0 et en +∞
si ce n'est pas le cas il faut le faire lol
donc tu dois voir que sur ]-∞,0] la fonction F2 est négative
donc exp(x)-(1+x+x²/2)≤0
on se souvient tous que F1 est positive tout le temps donc en particulier sur notre intervalle

exp(x)-(1+x)≥0
maintenant que je t'ai bien traduis un dernier effort je te laisse finir

bonsoir miumiu donc

exp(x) ≤ (1+x+x²/2)

exp(x) ≥ (1+x)

donc (1+x)≤exp(x)≤(1+x+x²/2) c'est ça ?

bravo !!
lol

Merci !!! lol

Il faut dire que j'ai aucun mérite... le travail a été "un tout petit peu" maché lol

J'ai un dernier problème (promis c'est le dernier )
C'est la question B2 je ne sais pas comment faire, merci d'avance

regarde par le plus pur des hasards pour x=-1
$e$ ^x $e^{-1}$ =...
tu remplaçes dans l'inéquation tu fais de beaux calculs et tu regardes sur ta calculette si tu ne t'es pas trompé
je ne sais pas si ça sert vraiment je ne pense pas dans cette question en tout cas mais tu peux traduire
1+x+x²/2!+x³/3!+x^4/4!+x 5/5! par une somme

Bon je vais voir ça mais en attendant je vais faire un petit dodo

Je vous souhaite une bonne nuit et vous dit un grand merci

de rien maintenant que tu n'as plus de questions je vais aussi aller dormir
bonne nuit