Encadrement de x-}exp(x) sur ]- l'infini; 0] et approximation de e



  • Bonjour à tous :), je n'arrive pas à faire ce DM et si quelqu'un pouvait se dévouer pour m'aider celui-ci ou celle-ci sera le bien venu :).

    Voilà l'énoncé:

    A Positions relatives de trois courbes

    Le plan est rapporté à un répère orthogonal.

    1. Etudier les variations de F1F_1 définie sur R par x→exp(x)-(1+x) puis en déduire son signe.

    Procéder de même avec la fonction F2F_2 : x→ exp(x)-(1+x+x²/2).

    1. En déduire que, pour tout réel x ∈]-∞; 0], 1+x≤exp(x)≤1+x+x²/2.

    2. Montrer que les courbes C1C_{ 1}, T et C2C_2, représentant respectivement les fonctions x→ 1+x, x→ exp(x) et x→ 1+x+x²/2, admettent la même tangente au point d'abscisse 0 (on dit qu'elles sont tangentes au point d'abscisse 0).

    B Amélioration de l'encadrement et approximation de e

    1. A l'aide de nouvelles fontions F3F_3, F4F_4, F5F_5 et F6F_6 bien choisies, établir, comme dans les questions A1 et A2, que, pour tout réel x ∈ ]- ∞; 0] , on a successivement :

    1+x+x²/2!+x³/3! ≤ exp (x)≤ 1+x+x²/2!+x³/3!+x4/3!+x^4/4!

    1+x+x²/2!+x³/3! xx^4/4!+x5/4!+x^{ 5}/5! ≤ exp (x) ≤1+x+x²/2!+x³/3!+x/3!+x^4/4!!+x/4!!+x^5/5!+x6/5!+x^6/6!

    1. En donnant à x une valeur particulière, donner un encadrement de 1/e.
      En déduir une valeur approchée de e à 10^-2 près.

    Voilà désolé pour la longueur, toute aide sera bien évidement la bien venue, merci d'avance !

    P.S : J'ai trouvé les variations de F1 et son signe, normalement c'est décroissant en ]-∞; 0] (donc négatif) et croissant en [0;+∞[ (donc positif). J'espère que c'est bon et après j'ai trouvé que F'$$_2$=F_1$.



  • mercury
    Bonjour à tous :), je n'arrive pas à faire ce DM et si quelqu'un pouvait se dévouer pour m'aider celui-ci ou celle-ci sera le bien venu :).

    Voilà l'énoncé:

    A Positions relatives de trois courbes

    Le plan est rapporté à un répère orthogonal.

    1. Etudier les variations de F1F_1 définie sur R par x→exp(x)-(1+x) puis en déduire son signe.

    Procéder de même avec la fonction F2F_2 : x→ exp(x)-(1+x+x²/2).

    1. En déduire que, pour tout réel x ∈]-∞; 0], 1+x≤exp(x)≤1+x+x²/2.

    2. Montrer que les courbes C1C_{ 1}, T et C2C_2, représentant respectivement les fonctions x→ 1+x, x-} exp(x) et x-} 1+x+x²/2, admettent la même tangente au point d'abscisse 0 (on dit qu'elles sont tangentes au point d'abscisse 0).

    B Amélioration de l'encadrement et approximation de e

    1. A l'aide de nouvelles fontions F3F_3, F4F_4, F5F_5 et F6F_6 bien choisies, établir, comme dans les questions A1 et A2, que, pour tout réel x ∈ ]- ∞; 0] , on a successivement :

    1+x+x²/2!+x³/3! ≤ exp (x)≤ 1+x+x²/2!+x³/3!+x4/3!+x^4/4!

    1+x+x²/2!+x³/3! xx^4/4!+x5/4!+x^{ 5}/5! ≤ exp (x) ≤1+x+x²/2!+x³/3!+x/3!+x^4/4!!+x/4!!+x^5/5!+x6/5!+x^6/6!

    1. En donnant à x une valeur particulière, donner un encadrement de 1/e.
      En déduir une valeur approchée de e à 10^-2 près.

    Voilà désolé pour la longueur, toute aide sera bien évidement la bien venue, merci d'avance !

    P.S : J'ai trouvé les variations de F1 et son signe, normalement c'est décroissant en ]-∞; 0] (donc négatif) et croissant en [0;+∞[ (donc positif). J'espère que c'est bon et après j'ai trouvé que F'$$_2$=F_1$.

    bonsoir (ou plutôt bonjour)
    tu as une calculette?
    je peux t'assurer que F1F_1(x) n'est jamais négative...
    ce n'est pas parce que F1F_1est décroissante qu'elle est négative regarde la courbe de x² elle est décroissante sur -l'infinie _0 et pourtant x² est-il négatif? Utilise les limites



  • 😁 plutôt bonsoir

    lim exp(x)= +∞ et lim -(1+x)=+∞ donc F1F_1 est positive
    x→-∞
    sur ]-∞;0] c'est ça ? (désolé je suis vraiment trop nulle :frowning2: )



  • mercury
    😁 plutôt bonsoir

    lim exp(x)= +∞ et lim -(1+x)=+∞ donc F1F_1 est positive
    x→-∞
    sur ]-∞;0] c'est ça ? (désolé je suis vraiment trop nulle :frowning2: )
    nan !!
    Ne dis pas que tu es nulle dis que tu n'es pas attentive (personne n'est nulle 😄 )
    bref ton raisonnement est presque bon il n'est pas suffisant
    sur ]-∞;0] F1F_1 est strictement décroissante ,
    limxf1(x)=+\lim _{x \rightarrow {-} \infty}f1(x) = {+} \infty

    et
    F1F_1(0) =0
    donc F1F_1est positive sur ]-∞;0]
    parce que tu vois par exemple x² -1 et bien
    limx(x21)=+\lim _{x \rightarrow {-} \infty}(x^2-1) = {+} \infty
    elle est aussi décroissante sur ]-∞;0] mais elle est négative sur [-1;0]...



  • mercury

    1. Montrer que les courbes C1C_{ 1}, T et C2C_2, représentant respectivement les fonctions x→ 1+x, x-} exp(x) et x-} 1+x+x²/2, admettent la même tangente au point d'abscisse 0 (on dit qu'elles sont tangentes au point d'abscisse 0).

    Bonjour,

    Je ne comprends pas ces expressions !!!!

    x→ 1+x, x-} exp(x) et x-} 1+x+x²/2,

    merci de les réécrire de façon plus compréhensible



  • Merci beaucoup Galaxie maintenant je crois que j'ai compris 😄

    et x→ 1+x, x-} exp(x) et x-} 1+x+x²/2,
    désolé j'ai oublié de modifier :rolling_eyes:

    c'est x→ 1+x, x→ exp(x) et x→ 1+x+x²/2, (au départ je ne savais pas comment faire les flêche lol)

    Et donc après comment dois-je faire pour F2 j'ai trouvé que F'$$2$=F{ 1}$ mais pour les variations je n'y arrive pas :frowning2:, merci d'avance



  • or tu viens de démontrer que pour tout x F1F_1(x) est ?????

    Quand on étudie une fonction f, pourquoi calcule-t-on f '(x) ? Qu'est-ce qu'on cherche ? et pourquoi ?



  • Pourquoi tout le monde m'appelle galaxie :frowning2: lol moi c'est miumiu :razz:
    bref après cette petit digression revenons à nos moutons 😉
    ok j'ai vérifé je trouve comme toi pour F2
    très bien alors nous connaissons le signe de F1 (positif partout)
    or F1 est la dérivée de F2
    quand sur un intervalle la dérivée d'une fonction est positive alors la fonction est ... sur cet intervalle

    *désolée zorro je n'avais pas vu que tu avais répondu 😄 *



  • Bonsoir 😄

    F1F_1 est positive et décroissante sur ]-∞;0] et positive et croissante sur [0;+∞[
    on calcule f'(x) pour trouver les variations de f, on cherche les variations de F2F_2 donc comme F'$$_2$=F_1$ alors F2F_2 est positive et décroissante sur ]-∞;0] et positive et croissante sur [0;+∞[ c'est ça ?

    Merci



  • de rien miumiu !!! on a répondu dans la même minute et pour quelques secondes ma réponse est arrivée la première ...

    de toute façon on a eu le même discours donc on ne perturbe pas mercury !



  • zorro : 😉

    mercury: presque
    ne t'occupe plus des variations de F1
    quand tu étudies la dérivée d'une fonction tu ne t'intéresses qu'au signe où est-ce que la dérivée est positive, négative, nulle pour après pouvoir conclure sur les variations de la fonction.
    bon et bien là il se trouve que la fonction c'est F2 que la dérivée c'est F1 on ne s'occupe que du signe de F1 qui est positif partout donc F2 est ...



  • 😄

    quand sur un intervalle la dérivée d'une fonction est positive alors la fonction est positive sur cet intervalle c'est ça 😁

    P.S : désolé miumiu, c'est parce que galaxie c'est écrit en plus gros 😁 (et je suis un peu bibleuse →bigleuse 😆 )



  • Bon miumiu, je te laisse avec mercury (la bibleuse !!! ... est-elle une fervente lectrice de la bible ????) 😆 et ses incohérences !

    Bonne nuit à tous !



  • mdr zorro 😆 (pardon pour le langage sms )
    rha on va reprendre les bases
    f(x)=x pour tout x appartenant a R
    f'(x)=1
    f'(x) est strictement positif
    donc f est strictement croissante sur R
    ok maintenant
    F2(x) =...
    F'2(x)=F1(x)
    F1(x) est strictement positive
    donc F2 est ...
    je ne voies pas comment faire plus simple lol



  • Pfff vraiment désolé je suis trop tête en l'air "bibleuse" la honte 😆 , alors désolé miumiu donc

    F2(x) = exp(x)-(1+x+x²/2)
    F'2(x)=F1(x)
    F1(x) est strictement positive
    donc F2 est strictement croissante sur R.

    Bon là j'espère que j'ai bien compris 😁



  • bravo
    je suis fière de toi petit scarabé
    🆒
    je crois que moi aussi j'ai besoin de dormir



  • Merci !!!

    Ca a été long désolé et un grand merci et si tu es fatigué je vais te laisser aller dormir 😄 , encore merci et à demain j'espère pour la suite du DM si ça ne t'embête pas trop 😁

    Bonne nuit 😄



  • 😁 Est ce que quelqu'un peut m'aider pour la A2 😕

    merci d'avance



  • bonjour mercury ça fesait longtemps lol
    alors tu as bien étudié F2 tu as vu qu'elle était croissante tu as calculé ses limites en -∞ en 0 et en +∞
    si ce n'est pas le cas il faut le faire lol
    donc tu dois voir que sur ]-∞,0] la fonction F2 est négative
    donc exp(x)-(1+x+x²/2)≤0
    on se souvient tous que F1 est positive tout le temps donc en particulier sur notre intervalle

    exp(x)-(1+x)≥0
    maintenant que je t'ai bien traduis un dernier effort je te laisse finir 😉



  • 😁 bonsoir miumiu donc

    exp(x) ≤ (1+x+x²/2)

    exp(x) ≥ (1+x)

    donc (1+x)≤exp(x)≤(1+x+x²/2) c'est ça ?



  • bravo !!
    lol



  • Merci !!! lol

    Il faut dire que j'ai aucun mérite... le travail a été "un tout petit peu" maché lol 😁

    J'ai un dernier problème (promis c'est le dernier 😄 )
    C'est la question B2 je ne sais pas comment faire, merci d'avance 😄



  • 😉
    regarde par le plus pur des hasards pour x=-1
    ee^x=e1=e^{-1}=...
    tu remplaçes dans l'inéquation tu fais de beaux calculs et tu regardes sur ta calculette si tu ne t'es pas trompé
    je ne sais pas si ça sert vraiment je ne pense pas dans cette question en tout cas mais tu peux traduire
    1+x+x²/2!+x³/3!+x^4/4!+x 5/5! par une somme



  • Bon je vais voir ça mais en attendant je vais faire un petit dodo 😄

    Je vous souhaite une bonne nuit et vous dit un grand merci 😄



  • de rien maintenant que tu n'as plus de questions je vais aussi aller dormir 🙂
    bonne nuit


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