approximation du nombre e

Bonjour, j'ai un DM à faire pour la rentrée. Une question me pose quelques difficultés. Pouuriez-vous m'aider ??

Voici l'énoncé :
Soit f la fonction définie sur R par f(x) = $e^x$ - (1+x)
Démontrer que pour tout réel x<1, on a : $e^x$ ≤ 1/(1-x)

Merci

Bonjour,

Pour répondre à ce genre de question, il faut introduire une fonction supplémentaire g qui va permettre de trouver la réponse

Il faut que tu étudies la fonction g(x) = $e^x$ - 1/(1-x)

D'après son tableau de variation tu en déduiras le signe de g(x) donc tu sauras si oui non on a bien $e^x$ ≤ 1/(1-x)

j'ai peut-être trouvé qqc mais je ne pense pas que les deux dernières lignes soient cohérentes, voici mon raisonnement :
$e^x$ - (1+x)≥0
1+x ≤ $e^x$
1/(1+x) ≥ $1/e^x$
1/(1+x) ≥ $e^{-x}$
1/(1-x)≥ $e^x$

Ton raisonnement est faux ; il faut que cela soit vrai pour tout x de IR or tu ne peux passer de ta première ligne à la seconde que si tu prends des précautions sur le signe de 1+x .

Je te confirme que la seule façon d'y arriver c'est d'étudier la fonction g dont je te parlais à 18h12

merci, j'ai réussi.

ms en démontrant cela, je dois maintenant déduire de l'inégalité précédente que :
e ≤ (1 + 1/ $n)^{n+1}$ avec n un entier naturel non nul.

je ne comprends pas pourquoi e n'a plus d'exposant x et comment faire apparaitre (1 + $1/n)^{n+1}$ depuis l'inégalité précédente.

pourriez vous de nouveau m'aider en me donnant quelques indications ???