approximation du nombre e



  • Bonjour, j'ai un DM à faire pour la rentrée. Une question me pose quelques difficultés. Pouuriez-vous m'aider ??

    Voici l'énoncé :
    Soit f la fonction définie sur R par f(x) = exe^x - (1+x)
    Démontrer que pour tout réel x<1, on a : exe^x ≤ 1/(1-x)

    Merci



  • Bonjour,

    Pour répondre à ce genre de question, il faut introduire une fonction supplémentaire g qui va permettre de trouver la réponse

    Il faut que tu étudies la fonction g(x) = exe^x - 1/(1-x)

    D'après son tableau de variation tu en déduiras le signe de g(x) donc tu sauras si oui non on a bien exe^x ≤ 1/(1-x)



  • j'ai peut-être trouvé qqc mais je ne pense pas que les deux dernières lignes soient cohérentes, voici mon raisonnement :
    exe^x - (1+x)≥0
    1+x ≤ exe^x
    1/(1+x) ≥ 1/ex1/e^x
    1/(1+x) ≥ exe^{-x}
    1/(1-x)≥exe^x



  • Ton raisonnement est faux ; il faut que cela soit vrai pour tout x de IR or tu ne peux passer de ta première ligne à la seconde que si tu prends des précautions sur le signe de 1+x .

    Je te confirme que la seule façon d'y arriver c'est d'étudier la fonction g dont je te parlais à 18h12



  • merci, j'ai réussi.

    ms en démontrant cela, je dois maintenant déduire de l'inégalité précédente que :
    e ≤ (1 + 1/ n)n+1n)^{n+1} avec n un entier naturel non nul.

    je ne comprends pas pourquoi e n'a plus d'exposant x et comment faire apparaitre (1 + 1/n)n+11/n)^{n+1} depuis l'inégalité précédente.

    pourriez vous de nouveau m'aider en me donnant quelques indications ???


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