Les nombres parfaits (pairs) : caractérisation



  • Salut tout le monde , voilà encore un exercice de spécialité qui me pose problème. L'énoncé est assez long mais j'en ai déjà fait une bonne partie.

    PARTIE 1

    Définition 1 :Soit n un entier naturel non nul, on note σ(n) la somme des diviseurs positifs de n.

    Définition 2 :Un entier naturel non nul n est parfait si et seulement si σ(n) = 2n .

    1. Les nombres 6, 28, 32 sont-ils parfaits ?
    2. Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2. Démontrer que :
      a) Quel que soit n un entier strictement supérieur à 1 : σ(n) ≥n+1 .
      b) n est premier si et seulement si σ(n) = n+1 .
      c) σ(n) = 1 si et seulement si n = 1 .
    3. Soient a et b deux entier naturels non nuls, démontrer que σ(a)σ(b) = σ(ab)

    PARTIE 2

    Soit p un nombre premier tel que 2p2^p -1 soit premier . On note EpE_p = 22^{p-1}(2p(2^p-1)

    1. Calculer σ(2p1(2^{p-1}) puis σ(2p(2^p-1).
    2. Calculer σ(Ep(E_p), en déduire que EpE_p est un nombre parfait.

    PARTIE 3

    Dans cette partie, n désigne un nombre parfait pair : on notera n = 2a2^ab, où b désigne un nombre impair.

    1. Justifier que σ(n) = 2a+12^{a+1}b puis que 2a+12^{a+1}b = σ(b)(2a+1(b)(2^{a+1}-1) .
    2. Montrer que PGCD (2a+1(2^{a+1}-1 , 2a+12^{a+1} ) = 1. En déduire que (2a+1(2^{a+1}-1) divise b. Par la suite nous noterons b = (2a+1(2^{a+1}-1)c.
    3. Démontrer que :
      a) σ(b) = 2a+12^{a+1}c
      b) n = 22^a(2a+1(2^{a+1}-1)c
      c) σ(n) = 2a+12^{a+1} (2a+1(2^{a+1}-1)c .
    4. On suppose que c>1. Démontrer qu'alors σ(n) ≥ (2(2^{a+1}1)2a+1-1)2^{a+1}(1+c) . Ce résultat est il compatible avec celui obtenu au 3.c. ? En déduire que c=1.
    5. En utilisant les questions précédentes et la partie 1, montrer que b est premier .

    PARTIE 4

    Enoncer la propriété démontrée dans les parties 2 et 3.

    Voilà l'énoncé. Donc j'ai déjà répondu à toutes les questions des parties 1 et 2.

    Ensuite pour la PARTIE 3 , j'ai justifié que σ(n) = 2a+12^{a+1}b mais pour la suite je suis bloquée.

    MErci à tous ceux qui pourront m'aider 😄

    Bel effort de présentation ; merci à toi Bbygirl ! (N.d.Z.)



  • Bon alors en fait j'ai trouvé la réponse à ma question (je crois que c'est le fait de poser le problème sur ce site qui donne la solution ...) donc je reviendrai poser une autre question plus tard.

    😄



  • Voilà je savais bien que j'allais avoir un problème. Mon problème est donc la question 4 de la partie 3. J'ai répondu aux 3 questions précédentes.

    MErci de m'aider 😄



  • juste comme ça, par pure curiosité... tu pourrais pas nous dire comment tu as répondu à la 3 de la partie 1, sans indication supplémentaire ?



  • Si gentiment demandé je veux bien lol

    Alors on suppose a ≥2 et b ≥2

    On note a0a_0, a1a_1, .... aka_k les diviseurs positifs de a avec a0a_0<a1a_1<a2a_2< ...<aka_k .
    On note b0b_0, b1b_1, .... blb_l les diviseurs positifs de b avec b0b_0< b1b_1< ....< blb_l .

    Sachant que aa_0=b0=b_0= 1 et que aka_k = a et blb_l = b,

    σ(a) = a0a_0 + a1a_1 +a 2_2 + ... + aka_k .

    et σ (b) = b0b_0 + b1b_1 + b2b_2 + ... + blb_l .

    σ(ab) = a0a_0 + a1a_1 +a 2_2 + ... + aka_k

    • aa_0b1b_1 + aa_1b1b_1 + ... + aa_kb1b_1
    • aa_0b2b_2 + aa_1b2b_2 + ... + aa_kb2b_2
      .
      .
      .
    • aa_0blb_l + aa_1blb_l + ... + aa_kblb_l

    Donc σ(ab) = (a0(a_0 + a1a_1 +a 2_2 + ... + aa_k)b0)b_0

    • (a0(a_0 + a1a_1 +a 2_2 + ... + aa_k)b1)b_1
    • (a0(a_0 + a1a_1 +a 2_2 + ... + aa_k)b2)b_2
      .
      .
      .
    • (a0(a_0 + a1a_1 +a 2_2 + ... + aa_k)bl)b_l

    ⇔ σ(ab) = (a0(a_0 + a1a_1 +a 2_2 + ... + aa_k)(b0)(b_0 + b1b_1 + b2b_2 + ... + blb_l)

    Ainsi, σ(ab) = σ(a)σ(b)

    Voilà pour la question 3 de la partie 1.



  • Merci.

    En gros, ce sur quoi repose ta preuve, lors du calcul de σ(ab), c'est le fait que, les diviseurs de a étant les axa_x et ceux de b étant les byb_y, alors les diviseurs de ab sont les aa_xbyb_y... mais est-ce toujours vrai ? au sens où : est-ce que cela donne exactement les diviseurs de ab, et pas un peu trop ?

    Prends par exemple a = 4, b = 6 et ab = 24 et dressons les listes des diviseurs.

    Pour 4: 1 ; 2 ; 4.

    Pour 6: 1 ; 2 ; 3 ; 6.

    Pour 24: 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 12 ; 24.

    parmi les diviseurs de 4 figure 2, comme parmi ceux de 6. En prenant les combinaisons des diviseurs de a et de b comme tu le suggères, on va récupérer 2×1 et 1×2, donc le nombre 2 sera compté une fois de trop. De même, avec 4, comme 4×1 et comme 2×2... d'ailleurs tu peux voir que σ(4) = 7, σ(6) = 12 et σ(24) = 60, ce qui montre que ton raisonnement ne s'applique certainement pas dans ce cas.

    Sinon, j'ai un autre (contre-)exemple pour te montrer que l'énoncé de cette question comporte une erreur (disons un omission) : on peut voir que σ(2) = 3, σ(4) = 7 et σ(8) = 15. Ainsi, σ(2×4) ≠σ(2)×σ(4).

    L'énoncé devrait demander que a et b soient
    premiers entre eux, ce qui rendrait correct ton argument, critiqué dans mon 1er paragraphe.



  • ah d'accord ... alors il suffit que je dise au départ que a et b doivent être premiers entre eux? et pour les autres cas ? il se passe quoi? il n'y a pas de formule ?



  • ... sauf si tu en découvres une !

    il faudra expliquer proprement pourquoi, lorsque a et b sont premiers entre eux, les diviseurs de ab sont exactement les aa_xbyb_y, avec les notations précédentes.



  • ah d'accord ... et comment on fait ca ?



  • c'est une lourde responsabilité dont je te laisse la charge : sois créative comme tu l'as déjà été !



  • j'ai même pas le droit à une piste?



  • pense peut-être à la décomposition en produit de facteurs premiers, pour lister tous les diviseurs de ab ?



  • Si a et b sont premiers entre eux alors leur pgcd est 1. mais après ?



  • ca veut dire qu'ils n'ont aucun facteur premier en commun puisque 1 n'est pas premier ... ?



  • oui, mais surtout : a et b n'ont AUCUN facteur premier commun.

    (j'avais pas vu ta remarque ci-dessus)



  • oui je l'avais vu .. mais qu'est ce que ca fait qu'ils n'aient aucun facteur premier en commun ?
    je ne vois pas trop à quoi ca sert



  • I. le problème du facteur commun, c'est justement de faire compter certains diviseurs en double... parce que 1 figure toujours dans l'autre liste de diviseurs.

    II. commençons par voir ce que ça donne pour un produit pq de deux nombres premiers...



  • d'accord je vais chercher dans ce sens là...



  • Pour ta question 4, sinon... sachant que n = 22^a(2a+1(2^{a+1}-1)c et c > 1 : cela veut dire que c est un diviseur de n.

    Peut-être qu'une "habile" façon de lister quelques diviseurs distincts de n donnera cette minoration de σ(n). En effet, si on est sûr que u, v w sont des diviseurs différents de n, alors on aura certainement σ(n) ≥ u + v + w.

    Je t'avoue que pour l'instant je sèche, notamment à cause du facteur 2a+12^{a+1} demandé dans le minorant.



  • okay merci. je vais d'abord essayer de résoudre le problème de la question 3 de la partie 1 avant de m'attaquer à autre chose. mais pour l'instant je ne trouve rien .



  • La méthode ressemble bcp : les diviseurs de p sont 1 et p ; ceux de q sont 1 et q. Quels sont les diviseurs de pq ? Compare alors σ(p), σ(q) et σ(pq).



  • je l'ai fait cet exemple et ca marche bien car :

    σ(p) = 1 + p
    σ(q) = 1 + q
    σ(pq) = 1 + p + q + pq

    et dans ce cas on a bien σ(pq) = σ(p)σ(q)



  • oui ; donc pour deux nombres premiers, la formule fonctionne.

    maintenant, considère peut-être a = pp_1$$^{e$_1$}$p2_2$^{e_2$}......pr_r$^{e_r$}$ et b = qq_1$$^{f$_1$}$q2_2$^{f_2$}......qr_r$^{f_s$}$

    avec les nombres premiers pip_i tous distincts des nombres premiers qjq_j, pour que a et b soient premiers entre eux.



  • dans ce cas là la démonstration que j'avais faite au début marche .

    Si on prend les aia_i différents des bjb_j :

    Citation
    Alors on suppose a ≥2 et b ≥2

    On note a0, a1, .... ak les diviseurs positifs de a avec a0<a1<a2< ...
    On note b0, b1, .... bl les diviseurs positifs de b avec b0< b1< ....< bl .

    Sachant que a0=b0= 1 et que ak = a et bl = b,

    σ(a) = a0 + a1 +a 2 + ... + ak .

    et σ (b) = b0 + b1 + b2 + ... + bl .

    σ(ab) = a0 + a1 +a 2 + ... + ak

    • a0b1 + a1b1 + ... + akb1
    • a0b2 + a1b2 + ... + akb2
      .
      .
      .
    • a0bl + a1bl + ... + akbl

    Donc σ(ab) = (a0 + a1 +a 2 + ... + ak)b0

    • (a0 + a1 +a 2 + ... + ak)b1
    • (a0 + a1 +a 2 + ... + ak)b2
      .
      .
      .
    • (a0 + a1 +a 2 + ... + ak)bl

    ⇔ σ(ab) = (a0 + a1 +a 2 + ... + ak)(b0 + b1 + b2 + ... + bl)

    Ainsi, σ(ab) = σ(a)σ(b)

    ca marche bien non ?



  • oui, à condition d'expliquer pourquoi on obtient ainsi exactement tous les diviseurs de ab, sans en compter en trop... comme je te l'ai déjà dit !



  • oui je suis d'accord mais comment on dit ca ? On doit dire que puisque a et b sont premiers entre eux alors ils n'ont aucun facteur premier en commun et donc les facteurs ne sont pas en double?
    je ne sais pas comment ca s'explique ...



  • Supposons a et b premiers entre eux ; soit p un diviseur premier de ab ; alors p divise a ou p divise b, non ? maintenant soit d un diviseur quelconque de ab ; alors d= pq...r en produit de facteurs premiers. Mais nécessairement, chaque p, q, ... ou r divise a ou b exclusivement. Donc d est de façon générale obtenu en multipliant les diviseurs de a par ceux de b, qui sont distincts et ne généreront pas de "doublon".

    Je sais pas si je suis clair, ni convaincant !



  • si si c'est très clair. mais ai je le droit d'écrire ca dans une copie?



  • That's the question... en fait le problème est à la base dans l'énoncé lui-même : la propriété demandée à la question 3 de la partie 1 est fausse. Tu as compris le problème (a et b doivent être premiers entre eux), ne passe peut-être pas trente lignes là-dessus.

    Je suis toujours gêné avec le facteur 2a+12^{a+1} dans la question 4 de la partie 3, là où on attend une minoration de σ(n).



  • D'accord. Alors je vais laisser un blanc pour cette question et lundi j'irai voir mon prof de maths pour lui demander s'il a commis une erreur dans l'énoncé.
    En attendant je vais continuer de chercher cette question 4 de la partie 3 ...


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