Les nombres parfaits (pairs) : caractérisation

Salut tout le monde , voilà encore un exercice de spécialité qui me pose problème. L'énoncé est assez long mais j'en ai déjà fait une bonne partie.

PARTIE 1

Définition 1 :Soit n un entier naturel non nul, on note σ(n) la somme des diviseurs positifs de n.

Définition 2 :Un entier naturel non nul n est parfait si et seulement si σ(n) = 2n .

Les nombres 6, 28, 32 sont-ils parfaits ?
Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2. Démontrer que :
a) Quel que soit n un entier strictement supérieur à 1 : σ(n) ≥n+1 .
b) n est premier si et seulement si σ(n) = n+1 .
c) σ(n) = 1 si et seulement si n = 1 .
Soient a et b deux entier naturels non nuls, démontrer que σ(a)σ(b) = σ(ab)

PARTIE 2

Soit p un nombre premier tel que $2^p$ -1 soit premier . On note $E_p$ = $2$ ^{p-1} $2^p$ -1)

Calculer σ $2^{p-1}$ ) puis σ $2^p$ -1).
Calculer σ $E_p$ ), en déduire que $E_p$ est un nombre parfait.

PARTIE 3

Dans cette partie, n désigne un nombre parfait pair : on notera n = $2^a$ b, où b désigne un nombre impair.

Justifier que σ(n) = $2^{a+1}$ b puis que $2^{a+1}$ b = σ $b)(2^{a+1}$ -1) .
Montrer que PGCD $2^{a+1}$ -1 , $2^{a+1}$ ) = 1. En déduire que $2^{a+1}$ -1) divise b. Par la suite nous noterons b = $2^{a+1}$ -1)c.
Démontrer que :
a) σ(b) = $2^{a+1}$ c
b) n = $2$ ^a $2^{a+1}$ -1)c
c) σ(n) = $2^{a+1}$ $2^{a+1}$ -1)c .
On suppose que c>1. Démontrer qu'alors σ(n) ≥ $(2$ ^{a+1} $1)2^{a+1}$ (1+c) . Ce résultat est il compatible avec celui obtenu au 3.c. ? En déduire que c=1.
En utilisant les questions précédentes et la partie 1, montrer que b est premier .

PARTIE 4

Enoncer la propriété démontrée dans les parties 2 et 3.

Voilà l'énoncé. Donc j'ai déjà répondu à toutes les questions des parties 1 et 2.

Ensuite pour la PARTIE 3 , j'ai justifié que σ(n) = $2^{a+1}$ b mais pour la suite je suis bloquée.

MErci à tous ceux qui pourront m'aider

Bel effort de présentation ; merci à toi Bbygirl ! (N.d.Z.)

Bon alors en fait j'ai trouvé la réponse à ma question (je crois que c'est le fait de poser le problème sur ce site qui donne la solution ...) donc je reviendrai poser une autre question plus tard.

Voilà je savais bien que j'allais avoir un problème. Mon problème est donc la question 4 de la partie 3. J'ai répondu aux 3 questions précédentes.

MErci de m'aider

juste comme ça, par pure curiosité... tu pourrais pas nous dire comment tu as répondu à la 3 de la partie 1, sans indication supplémentaire ?

Si gentiment demandé je veux bien lol

Alors on suppose a ≥2 et b ≥2

On note $a_0$ , $a_1$ , .... $a_k$ les diviseurs positifs de a avec $a_0$ < $a_1$ < $a_2$ < ...< $a_k$ .
On note $b_0$ , $b_1$ , .... $b_l$ les diviseurs positifs de b avec $b_0$ < $b_1$ < ....< $b_l$ .

Sachant que $a$ _0 $b_0$ = 1 et que $a_k$ = a et $b_l$ = b,

σ(a) = $a_0$ + $a_1$ +a $_2$ + ... + $a_k$ .

et σ (b) = $b_0$ + $b_1$ + $b_2$ + ... + $b_l$ .

σ(ab) = $a_0$ + $a_1$ +a $_2$ + ... + $a_k$

$a$ _0 $b_1$ + $a$ _1 $b_1$ + ... + $a$ _k $b_1$
$a$ _0 $b_2$ + $a$ _1 $b_2$ + ... + $a$ _k $b_2$
.
.
.
$a$ _0 $b_l$ + $a$ _1 $b_l$ + ... + $a$ _k $b_l$

Donc σ(ab) = $a_0$ + $a_1$ +a $_2$ + ... + $a$ _k $b_0$

$a_0$ + $a_1$ +a $_2$ + ... + $a$ _k $b_1$
$a_0$ + $a_1$ +a $_2$ + ... + $a$ _k $b_2$
.
.
.
$a_0$ + $a_1$ +a $_2$ + ... + $a$ _k $b_l$

⇔ σ(ab) = $a_0$ + $a_1$ +a $_2$ + ... + $a$ _k $b_0$ + $b_1$ + $b_2$ + ... + $b_l$ )

Ainsi, σ(ab) = σ(a)σ(b)

Voilà pour la question 3 de la partie 1.

Merci.

En gros, ce sur quoi repose ta preuve, lors du calcul de σ(ab), c'est le fait que, les diviseurs de a étant les $a_x$ et ceux de b étant les $b_y$ , alors les diviseurs de ab sont les $a$ _x $b_y$ ... mais est-ce toujours vrai ? au sens où : est-ce que cela donne exactement les diviseurs de ab, et pas un peu trop ?

Prends par exemple a = 4, b = 6 et ab = 24 et dressons les listes des diviseurs.

Pour 4: 1 ; 2 ; 4.

Pour 6: 1 ; 2 ; 3 ; 6.

Pour 24: 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 12 ; 24.

parmi les diviseurs de 4 figure 2, comme parmi ceux de 6. En prenant les combinaisons des diviseurs de a et de b comme tu le suggères, on va récupérer 2×1 et 1×2, donc le nombre 2 sera compté une fois de trop. De même, avec 4, comme 4×1 et comme 2×2... d'ailleurs tu peux voir que σ(4) = 7, σ(6) = 12 et σ(24) = 60, ce qui montre que ton raisonnement ne s'applique certainement pas dans ce cas.

Sinon, j'ai un autre (contre-)exemple pour te montrer que l'énoncé de cette question comporte une erreur (disons un omission) : on peut voir que σ(2) = 3, σ(4) = 7 et σ(8) = 15. Ainsi, σ(2×4) ≠σ(2)×σ(4).

L'énoncé devrait demander que a et b soient
premiers entre eux, ce qui rendrait correct ton argument, critiqué dans mon 1er paragraphe.

ah d'accord ... alors il suffit que je dise au départ que a et b doivent être premiers entre eux? et pour les autres cas ? il se passe quoi? il n'y a pas de formule ?

... sauf si tu en découvres une !

il faudra expliquer proprement pourquoi, lorsque a et b sont premiers entre eux, les diviseurs de ab sont exactement les $a$ _x $b_y$ , avec les notations précédentes.

ah d'accord ... et comment on fait ca ?

c'est une lourde responsabilité dont je te laisse la charge : sois créative comme tu l'as déjà été !

j'ai même pas le droit à une piste?

pense peut-être à la décomposition en produit de facteurs premiers, pour lister tous les diviseurs de ab ?

Si a et b sont premiers entre eux alors leur pgcd est 1. mais après ?

ca veut dire qu'ils n'ont aucun facteur premier en commun puisque 1 n'est pas premier ... ?

oui, mais surtout : a et b n'ont AUCUN facteur premier commun.

(j'avais pas vu ta remarque ci-dessus)

oui je l'avais vu .. mais qu'est ce que ca fait qu'ils n'aient aucun facteur premier en commun ?
je ne vois pas trop à quoi ca sert

I. le problème du facteur commun, c'est justement de faire compter certains diviseurs en double... parce que 1 figure toujours dans l'autre liste de diviseurs.

II. commençons par voir ce que ça donne pour un produit pq de deux nombres premiers...

d'accord je vais chercher dans ce sens là...

Pour ta question 4, sinon... sachant que n = $2$ ^a $2^{a+1}$ -1)c et c > 1 : cela veut dire que c est un diviseur de n.

Peut-être qu'une "habile" façon de lister quelques diviseurs distincts de n donnera cette minoration de σ(n). En effet, si on est sûr que u, v w sont des diviseurs différents de n, alors on aura certainement σ(n) ≥ u + v + w.

Je t'avoue que pour l'instant je sèche, notamment à cause du facteur $2^{a+1}$ demandé dans le minorant.

okay merci. je vais d'abord essayer de résoudre le problème de la question 3 de la partie 1 avant de m'attaquer à autre chose. mais pour l'instant je ne trouve rien .

La méthode ressemble bcp : les diviseurs de p sont 1 et p ; ceux de q sont 1 et q. Quels sont les diviseurs de pq ? Compare alors σ(p), σ(q) et σ(pq).

je l'ai fait cet exemple et ca marche bien car :

σ(p) = 1 + p
σ(q) = 1 + q
σ(pq) = 1 + p + q + pq

et dans ce cas on a bien σ(pq) = σ(p)σ(q)

oui ; donc pour deux nombres premiers, la formule fonctionne.

maintenant, considère peut-être a = $p$ _1$$^{e$_1$}$p $_2$ $^{e_2$} $. . .$ p $_r$ $^{e_r$}$ et b = $q$ _1$$^{f$_1$}$q $_2$ $^{f_2$} $. . .$ q $_r$ $^{f_s$}$

avec les nombres premiers $p_i$ tous distincts des nombres premiers $q_j$ , pour que a et b soient premiers entre eux.

dans ce cas là la démonstration que j'avais faite au début marche .

Si on prend les $a_i$ différents des $b_j$ :

Citation
Alors on suppose a ≥2 et b ≥2

On note a0, a1, .... ak les diviseurs positifs de a avec a0<a1<a2< ...
On note b0, b1, .... bl les diviseurs positifs de b avec b0< b1< ....< bl .

Sachant que a0=b0= 1 et que ak = a et bl = b,

σ(a) = a0 + a1 +a 2 + ... + ak .

et σ (b) = b0 + b1 + b2 + ... + bl .

σ(ab) = a0 + a1 +a 2 + ... + ak

a0b1 + a1b1 + ... + akb1
a0b2 + a1b2 + ... + akb2
.
.
.
a0bl + a1bl + ... + akbl

Donc σ(ab) = (a0 + a1 +a 2 + ... + ak)b0

(a0 + a1 +a 2 + ... + ak)b1
(a0 + a1 +a 2 + ... + ak)b2
.
.
.
(a0 + a1 +a 2 + ... + ak)bl

⇔ σ(ab) = (a0 + a1 +a 2 + ... + ak)(b0 + b1 + b2 + ... + bl)

Ainsi, σ(ab) = σ(a)σ(b)

ca marche bien non ?

oui, à condition d'expliquer pourquoi on obtient ainsi exactement tous les diviseurs de ab, sans en compter en trop... comme je te l'ai déjà dit !

oui je suis d'accord mais comment on dit ca ? On doit dire que puisque a et b sont premiers entre eux alors ils n'ont aucun facteur premier en commun et donc les facteurs ne sont pas en double?
je ne sais pas comment ca s'explique ...

Supposons a et b premiers entre eux ; soit p un diviseur premier de ab ; alors p divise a ou p divise b, non ? maintenant soit d un diviseur quelconque de ab ; alors d= pq...r en produit de facteurs premiers. Mais nécessairement, chaque p, q, ... ou r divise a ou b exclusivement. Donc d est de façon générale obtenu en multipliant les diviseurs de a par ceux de b, qui sont distincts et ne généreront pas de "doublon".

Je sais pas si je suis clair, ni convaincant !

si si c'est très clair. mais ai je le droit d'écrire ca dans une copie?

That's the question... en fait le problème est à la base dans l'énoncé lui-même : la propriété demandée à la question 3 de la partie 1 est fausse. Tu as compris le problème (a et b doivent être premiers entre eux), ne passe peut-être pas trente lignes là-dessus.

Je suis toujours gêné avec le facteur $2^{a+1}$ dans la question 4 de la partie 3, là où on attend une minoration de σ(n).

D'accord. Alors je vais laisser un blanc pour cette question et lundi j'irai voir mon prof de maths pour lui demander s'il a commis une erreur dans l'énoncé.
En attendant je vais continuer de chercher cette question 4 de la partie 3 ...

Salut. Alors je suis allée voir mon prof de maths et c'était une erreur de sa part. donc il fallait faire la démonstration pour des a et b premiers entre eux ce qui est logique par rapport à la suite de l'exercice en fait ...
Sinon pour la question 4 je ne trouve toujours pas ..

Voilà

Bon alors je crois que je tiens quelque chose pour cette question 4 : si 1<c, alors le nombre n = $2$ ^a $2^{a+1}$ -1)c possède comme diviseurs

d'une part 1, 2, ... , $2^a$ dont la somme est $2^{a+1}$ -1 ;
d'autre part 1, 2, ... , $2^a$
tous multipliés par $2^{a+1}$ -1), dont la somme est $(2$ ^{a+1} $1)(2^{a+1}$ -1) ;

alors, ces diviseurs ont pour somme $2^{a+1}$ -1 + $(2$ ^{a+1} $1)(2^{a+1}$ -1) = $2$ ^{a+1} $2^{a+1}$ -1) ;

-et enfin les mêmes que ci-dessus, à savoir 1, 2, ... , $2^a$ , et 1, 2, ... , $2^a$ tous multipliés par $2^{a+1}$ -1),
tous multipliés par c, dont la somme est $2$ ^{a+1} $2^{a+1}$ -1)c

Au final, ces diviseurs ont une somme égale à $2$ ^{a+1} $2^{a+1}$ -1)c + $2$ ^{a+1} $2^{a+1}$ -1) = $2$ ^{a+1} $2^{a+1}$ -1)(1 + c).

Ainsi, la somme de tous les diviseurs de n est au moins égale à ce nombre, d'où finalement
σ(n) ≥ $2$ ^{a+1} $2^{a+1}$ -1)(1 + c)
Il y a un petit défaut dans tout ça : c'est dans le fait que l'on ne justifie pas que les diviseurs listés plus haut sont bien tous différents, ce qui garantirait l'inégalité finale...

Pour préciser ma dernière remarque, il s'agit de se convaincre que la liste suivante ne contient pas de répétition :

1, 2, ..., $2^a$ , $1(2^{a+1}$ -1), $2(2^{a+1}$ -1), ..., $2$ ^a $2^{a+1}$ -1), 1c, 2c, ..., $2^a$ c, $1c(2^{a+1}$ -1), $2c(2^{a+1}$ -1), ..., $2$ ^a $c(2^{a+1}$ -1).

merci. En fait c'est ce que j'ai trouvé hier avec une amie en utilisant les démonstrations sur les nombres parfaits faites dans la partie 2. Je vais enfin pouvoir terminer mon devoir

J'ai encore 2 dernières questions. Comment montre-t-on ensuite que b est premier ?
Et en conclusion je dois énoncer la propriété démontrée dans les parties 2 et 3 mais je n'arrive pas bien à la cerner.

Merci d'avance

D'après 1. 2 b), il suffit de montrer que σ(b) = b+1.

le problème c'est que b= $2^{a+1}$ -1)c et que b+1 est différent de sigma(b)= $2^{a+1}$ c

ah mais non c'est bon parce que c = 1. j'étais passée au dessus .
Et sinon pour la propriété énoncée ... ?

Alors... la partie 2 donne une condition suffisante pour qu'un nombre (pair) soit parfait : si ... et ..., alors le nombre ... est parfait.

La partie 3 donne une condition nécessaire, réciproque de la précédente : si un nombre pair est parfait, alors ce nombre est de la forme ... avec ...

Si p est un nombre premier tel que $2^p$ -1 soit premier et $E_p$ = $2$ ^{p-1} $2^p$ -1), alors le nombre $E_p$ est parfait.
Si un nombre pair est parfait, alors ce nombre est de la forme $2^a$ b avec b qui désigne un nombre impair.

Est ce ca ? Et doit-on ne faire qu'une phrase pour énoncer la propriété ?