La moyenne arithméco-géométrique

Bonjour,

je suis bloquée à cet exercice (désolé de vous importuner)

a et b désignent 2 réels tels que 0
... ? (N.d.Z.)

A. Soit $\sqrt{ab}$ leur moyenne géométrique.

Soit $m = (a + b) / 2$ leur moyenne arithmétique.

Démontrer que $\leq g \leq m \leq b$ .

J'ai mis des inégalités larges ici - ok ? (N.d.Z.)

B. $a_n$ ) $em>{n ∈ IN}$ et $b_n$ ) $em>{n ∈ IN}$ sont deux suites définies par :

$a_0$ = a et pour tout n ∈ IN, $an+1=anbna_{n+1}= \sqrt{a_n b_n}$ ;

$b_0$ = b et pour tout n ∈ IN, $bn+1=an+bn2b_{n+1} = \frac{a_n +b_n}2$

1.a) Expliquer pourquoi pour tout n de IN, $an≤bna_n \leq b_n$ .

b) Déduire de la question A. que la suite $a_n$ ) est croissante et que la suite $b_n$ ) est décroissante.

Merci d'avance

Ceci lève l'ambiguité, ok. (N.d.Z.)

J'ai oublié de mettre au début de l'exercie "a et b désigent 2 réels tels que 0< a < b".

bonjour!!
A)
Il faut que tu procèdes pas étapes
0<a<b
√a<√b car x→√x est strictement croissante ∀ x ∈ $R_+$
donc √(ab)<b j'ai multipié par√b
de même tu prouves que
a<√(ab)
tu utilises la même méthode pour encadrer m je regarde pour prouver que m>g

je n'arrive pas à prouver que m>g

ça demande d'écrire l'inégalité attendue

$a+b2≥ab\frac{a+b}2 \geq \sqrt{ab}$
sous la forme

$2\sqrt a \sqrt b \geq 0$
laquelle contient un développement remarquable bien connu.

oui mais c'est l'inégalité qu'on cherche

Les deux sont équivalentes. Large ou stricte, peu importe ici.
La seconde inégalité ne te fait penser à rien de connu ?

peut -être que tu seras moins perturbé si on te dit que :
$a+b2,≥,ab\frac{a+b}{2}, \geq , \sqrt{ab}$

$(a+b)24,≥,ab\frac{(a+b)^2}{4}, \geq , ab$ car a et b sont positifs
$(a+b)2,≥,4ab(a+b)^2, \geq , 4ab$
$a2+b2+2ab,≥,4aba^2+b^2 + 2ab, \geq , 4ab$
je te laisse finir tu dois trouver quelque chose de connu après reregarde le conseil de Zauctore

oui merci j'ai compris
seulement, a-t-on le droit de poser directement l'inégalité suivante : (a+b)/2 ≥ √(ab) ? ce n'est pas cette inégalité là qu'on cherche à prouver ?

je ne sais pas si j'ai été assez claire...

Si je t'ai comprise lol en effet tu va partir de la fin et remonter petit à petit les calculs que tu as fait par contre il faudra absolument mettre des équivalences ( cf Zauctore )

lol Ok !