La moyenne arithméco-géométrique



  • Bonjour,

    je suis bloquée à cet exercice (désolé de vous importuner)

    a et b désignent 2 réels tels que 0
    ... ? (N.d.Z.)

    A. Soit g=abg= \sqrt{ab} leur moyenne géométrique.

    Soit m=(a+b)/2m = (a+b)/2 leur moyenne arithmétique.

    Démontrer que agmba \leq g \leq m \leq b.

    J'ai mis des inégalités larges ici - ok ? (N.d.Z.)

    B. (an(a_n) ${n ∈ IN}$ et (bn(b_n) ${n ∈ IN}$ sont deux suites définies par :

    a0a_0 = a et pour tout n ∈ IN, an+1=anbna_{n+1}= \sqrt{a_n b_n} ;

    b0b_0 = b et pour tout n ∈ IN, bn+1=an+bn2b_{n+1} = \frac{a_n +b_n}2

    1.a) Expliquer pourquoi pour tout n de IN, anbna_n \leq b_n.

    b) Déduire de la question A. que la suite (an(a_n) est croissante et que la suite (bn(b_n) est décroissante.

    Merci d'avance 😄



  • Ceci lève l'ambiguité, ok. (N.d.Z.)

    J'ai oublié de mettre au début de l'exercie "a et b désigent 2 réels tels que 0< a < b".



  • bonjour!!
    A)
    Il faut que tu procèdes pas étapes
    0<a<b
    √a<√b car x→√x est strictement croissante ∀ x ∈R+R_+
    donc √(ab)<b j'ai multipié par√b
    de même tu prouves que
    a<√(ab)
    tu utilises la même méthode pour encadrer m je regarde pour prouver que m>g



  • je n'arrive pas à prouver que m>g



  • ça demande d'écrire l'inégalité attendue

    a+b2ab\frac{a+b}2 \geq \sqrt{ab}
    sous la forme

    a+b2ab0a+b - 2\sqrt a \sqrt b \geq 0
    laquelle contient un développement remarquable bien connu.



  • oui mais c'est l'inégalité qu'on cherche



  • Les deux sont équivalentes. Large ou stricte, peu importe ici.
    La seconde inégalité ne te fait penser à rien de connu ?



  • peut -être que tu seras moins perturbé si on te dit que :
    a+b2,,ab\frac{a+b}{2}, \geq , \sqrt{ab}

    (a+b)24,,ab\frac{(a+b)^2}{4}, \geq , ab car a et b sont positifs
    (a+b)2,,4ab(a+b)^2, \geq , 4ab
    a2+b2+2ab,,4aba^2+b^2 + 2ab, \geq , 4ab
    je te laisse finir tu dois trouver quelque chose de connu après reregarde le conseil de Zauctore



  • oui merci j'ai compris
    seulement, a-t-on le droit de poser directement l'inégalité suivante : (a+b)/2 ≥ √(ab) ? ce n'est pas cette inégalité là qu'on cherche à prouver ?



  • je ne sais pas si j'ai été assez claire...



  • Si je t'ai comprise lol en effet tu va partir de la fin et remonter petit à petit les calculs que tu as fait par contre il faudra absolument mettre des équivalences ( cf Zauctore 😉 )



  • lol Ok !


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