Avec des billets de 11 et 7 seulement ! (ex-euclide ?)

A compter du 1er avril 2007, la banque centrale européenne décide de ne plus émettre que des billets de 7€ et 11€.

Montrer qu'il est possible de payer n'importe quelle somme entière ?
On suppose maintenant que vous devez payer une somme S, mais que votre créancier ne peut pas rendre la monnaie.
Ainsi il est possible de payer S =7, mais pas S= 6 ou 8 par exemple.
Montrer qu'il est néanmoins possible de payer si S est assez grande.
Quelle est la plus grande valeur de S qu'il soit impossible de payer ?

Voila je ne comprend pas vraiment l'exo.
Merci pour vos réponses !

Avec seulement des billets de 4€ et de 7€, peux-tu faire 1€ ? à condition que chacun ait suffisamment de billet de chaque sorte !

bun pour la 1er question peut payer n'importe quelle somme mais comment le montrer ?

Avec 4 et 7:

2×4 - 1×7 = 1.

n = n×1 = n×(2×4 - 1×7) = 2n×4 - n×7.

ça marche aussi avec 7 et 11 ?

Donc avec 7 et 11 ::
2x11 - 7x3 = 1.
n = nx1 = n x (2x11 - 7x3) = 2nx11-7x3n

Donc on peut payer n'importe quelle somme avec 7 et 11

hé oui - à condition que chacun ait suffisamment de billets des deux sortes.

ok par contre pour la somme la plus grande impossible a payer j'ai pensé a résoudre par euclie 7x+11y= pgcd(7,11) = 1

Donc je trouve x = -3 et y = 2
et en solution général x = k-3 et y 2-7k

Suis-je sur la bonne voie ?

oui, mais garde à l'esprit que l'autre ne peut rien rendre, c'est-à-dire que tes coefficients doivent être positifs.

heu fais gaffe à la forme générale des solutions, quand même !

ah oui en effet me suis tromper, apres rectification je trouve :
y= 2-7k et x = -11k-3 pour tout k >0

Mais je vois pas comment conclure

Citation
y= 2-7k et x = -11k-3 pour tout k >0
1° y'a un peu trop de signes moins là-dedans... et k>0 ? non : ce sont x et y qui doivent rester positifs, plutôt.

oups alors k < 0

non ; déjà c'est plutôt y= 2+7k et x = -11k-3 (ou bien y= 2-7k et x = 11k-3).

ensuite on doit avoir x > 0 et y > 0 ce qui se traduit par des conditions sur k.

Zauctore
non ; déjà c'est plutôt y= 2+7k et x = -11k-3 (ou bien y= 2-7k et x = 11k-3).

ensuite on doit avoir x > 0 et y > 0 ce qui se traduit par des conditions sur k.

autant pour moi pour les solution donc

11k -3 > 0 ==> k >3/11 or k entier donc k > 0
2-7k > 0 ==> k <2/7

Rahhh probleme de comprehension du sujet, merci quand même Zauctor

Bon y'a comme un petit problème...

Si je comprends bien ... il doit exister une valeur S telle que pour toute somme S' supérieure à S, on puisse trouver une combinaison à coefficients positifs 7x + 11y qui soit égale à S'.