Avec des billets de 11 et 7 seulement ! (ex-euclide ?)



  • A compter du 1er avril 2007, la banque centrale européenne décide de ne plus émettre que des billets de 7€ et 11€.

    1. Montrer qu'il est possible de payer n'importe quelle somme entière ?

    2. On suppose maintenant que vous devez payer une somme S, mais que votre créancier ne peut pas rendre la monnaie.
      Ainsi il est possible de payer S =7, mais pas S= 6 ou 8 par exemple.
      Montrer qu'il est néanmoins possible de payer si S est assez grande.
      Quelle est la plus grande valeur de S qu'il soit impossible de payer ?

    Voila je ne comprend pas vraiment l'exo.
    Merci pour vos réponses !



  • Avec seulement des billets de 4€ et de 7€, peux-tu faire 1€ ? à condition que chacun ait suffisamment de billet de chaque sorte !



  • bun pour la 1er question peut payer n'importe quelle somme mais comment le montrer ?



  • Avec 4 et 7:

    2×4 - 1×7 = 1.

    n = n×1 = n×(2×4 - 1×7) = 2n×4 - n×7.

    ça marche aussi avec 7 et 11 ?



  • Donc avec 7 et 11 ::
    2x11 - 7x3 = 1.
    n = nx1 = n x (2x11 - 7x3) = 2nx11-7x3n

    Donc on peut payer n'importe quelle somme avec 7 et 11 🙂 😆 😆



  • hé oui - à condition que chacun ait suffisamment de billets des deux sortes.



  • ok par contre pour la somme la plus grande impossible a payer j'ai pensé a résoudre par euclie 7x+11y= pgcd(7,11) = 1

    Donc je trouve x = -3 et y = 2
    et en solution général x = k-3 et y 2-7k

    Suis-je sur la bonne voie ?



  • oui, mais garde à l'esprit que l'autre ne peut rien rendre, c'est-à-dire que tes coefficients doivent être positifs.

    heu fais gaffe à la forme générale des solutions, quand même !



  • ah oui en effet me suis tromper, apres rectification je trouve :
    y= 2-7k et x = -11k-3 pour tout k >0

    Mais je vois pas comment conclure 😞



  • Citation
    y= 2-7k et x = -11k-3 pour tout k >0
    1° y'a un peu trop de signes moins là-dedans... et k>0 ? non : ce sont x et y qui doivent rester positifs, plutôt.



  • oups alors k < 0



  • non ; déjà c'est plutôt y= 2+7k et x = -11k-3 (ou bien y= 2-7k et x = 11k-3).

    ensuite on doit avoir x > 0 et y > 0 ce qui se traduit par des conditions sur k.



  • Zauctore
    non ; déjà c'est plutôt y= 2+7k et x = -11k-3 (ou bien y= 2-7k et x = 11k-3).

    ensuite on doit avoir x > 0 et y > 0 ce qui se traduit par des conditions sur k.

    autant pour moi pour les solution donc

    11k -3 > 0 ==> k >3/11 or k entier donc k > 0
    2-7k > 0 ==> k <2/7

    Rahhh probleme de comprehension du sujet, merci quand même Zauctor



  • Bon y'a comme un petit problème...



  • Si je comprends bien ... il doit exister une valeur S telle que pour toute somme S' supérieure à S, on puisse trouver une combinaison à coefficients positifs 7x + 11y qui soit égale à S'.


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