Diagonales d'un quadrilatère convexe



  • Bonjour tout le monde!

    J'ai un petit problème dans un devoir maison. Voici l'exercice:

    ABCD est un quadrilatère convexe. Ses diagonales se coupent en O. On appelle S la somme des longueurs des diagonales de ABCD et P son périmètre.

    Démontrer que S est supérieur à la somme de 2 côtés opposés.

    Voilà, j'espère avoir été assez clair. Mes plus grands remerciements à celui ou celle qui voudrait bien me répondre. Je sais que cet exercice est facile mais j'ai beaucoup cherché sur nternet et dans mes livres et je n'ai pas trouvé de solution.

    A+



  • Bonjour,

    Je pense qu'en utilisant la propriété qui dit que dans un triangle la longueur de chaque côté d'un triangle est inférieure à la somme des longueurs des 2 autres, tu devrais t'en sortir

    AC < AB + BC etc ...



  • Bonsoir,

    J'ai le même DM pour mardi mais je n'ai pas bien saisi l'explication précédente. 😕

    Je ne vois pas en quoi la longueur de chaque côté d'un triangle influe dans un quadrilatère convexe.

    Merci de bien vouloir m'éclairer sur le problème ! 😉



  • A la somme de quels côtés peux-tu comparer la longueur de chacune des diagonales ? (en appliquant la règle citée)



  • Ah oui d'accord ous aviez raison je me suis trompée. 😊

    Mais vous avez marquez AC < AB + BC etc ... or si on fait un dessin cela voudrait dire que la diagonale (AC) est inférieur aux 2 cotés consécutifs AB et BC or on veut démontrer que la diagonale est suéprieur à 2 côtés opposés.

    Olala je plane complètement là ... :frowning2:



  • Oui voilà. Ce sont deux côtés opposés pas consécutifs. :frowning2:
    Je pense qu'il faut raisonner en plusieurs propriétés.

    PS : Christa t pas en 2nde 11?? mdrrr



  • kataman
    PS : Christa t pas en 2nde 11?? mdrrr

    Euh ... oui je suis en 2nde 11 mdrrr pourquoi t'y est aussi ?? c'est quoi ton prénom ?!



  • c robin ptdr



  • ptdr et ben on a le même problème avec notre DM alors !! Il est trop dur c'est abusé j'comprend rien du tout ... bref merci de nous éclairer 😉



  • On a BO + OC ≥ BC et AO + OD ≥ AD (inégalité triangulaire).

    Donc BO + OC + AO + OD ≥ BC + AD (deux côtés opposés).

    Or BO + OC + AO + OD = AC + BD (somme des diagonales).

    http://img54.imageshack.us/img54/8030/capture02nl2.jpg



  • Ah ok merci j'ai compris maintenant. 😉

    La suite de la question étant : démontrer que S est inférieure au périmètre P du quadrilatère, on peut également utiliser l'inégalité triangulaire ??

    Cela donnerai : On a DA + AB ≥ DB, BC + CD ≥ DB
    AB + BC ≥ AC, AD + DC ≥ AC
    Donc DA + AB + BC + CD (périmètre) ≥ DB + AC (diagonales)

    Est-ce bien cela ?



  • Exact, à condition qu'on voit bien

    2(DA + AB + BC + CD) ≥ 2 DB + 2 AC.
    Donc la somme des diagonales (d'un quadrilatère convexe) est toujours comprise entre la somme de deux côtés opposés et celle des quatre côtés.



  • Ok merci beaucoup.

    Par ailleurs pour déduire que S est supérieure au demi périmètre du quadrilatère, peut-on également utiliser l'inégalité triangulaire ?

    Cela donnerai :

    AB ≤ AO + BO et DC ≤ OD+ OC
    Donc AB + DC ≤ AC + BD or on sait que AC + BD ≥ BC + AD
    Donc AB + AD (demi périmètre) ≤ BC + AD (diagonales)

    Est-ce bien cela ?



  • Non cela ne tient pas, car AB + AD n'est pas le 1/2 périmètre : ce n'est pas un losange ni un rhomboïde, ce n'est qu'un quadrilatère convexe...

    Je dirais plutôt que
    S ≥ AB + CD et S ≥ BC + AD ;
    donc 2S ≥ AB + CD + BC + AD, cqfd.



  • ok merci beaucoup pour votre aide
    A+ 😉



  • Trop bien. Merci beaucoup!!! 😁


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