Exercice sur les suites et leur convergence



  • Salut, je n'arrive pas à démontrer les énoncés de mon exercice bien que certains me paraissent évidents, si vous pouviez m'aider ca serait sympa. Merci

    Si l'énoncé est vrai en donner la démonstration, s'il est faux, donner un contre exemple.

    (Un(U_n) et (Vn(V_n) désignent 2 suites quelconques telles que : Pour tout n appartenant à N, vnv_n différent de 0.

    1. Si (U(U_n+Vn+V_n) converge vers 1 , alors (Un(U_n) et (Vn(V_n) sont convergentes.

    Voici le premier énoncé.

    Je suis convaincue qu'il est juste mais je n'arrive pas à le démontrer.

    Merci de votre aide



  • Teste-voir avec

    un=1+(1)n et vn=(1)n+1u_n = 1+(-1)^n \qquad\text{ et } \qquad v_n=(-1)^{n+1}
    pour voir si c'est si évident que ça.



  • mais là UU_n+Vn+V_n ne converge pas vers 1
    non?



  • ah si pardon je me suis trompée



  • donc l'énoncé est faux. d'accord merci 😄
    Je vais essayer de faire les autres énoncés moi-même sinon je reviendrai.



    1. Si (Un(U_n) et (Vn(V_n) convergent vers 0, alors (U(U_n/Vn/V_n) admet une limite finie.

    Pour cela normalement c'est juste ...



  • Tiens :
    un=1n et vn=1n2u_n = \frac1n\qquad\text{ et }\qquad v_n=\frac1{n^2}
    pour voir...



  • encore une erreur ... à chaque fois je choisis les mauvaises fonctions ...

    1. Si (Vn(V_n) converge vers 0 et si (U(U_n/Vn/V_n) converge vers 1, alors (Un(U_n) converge vers 0 .

    Quelles fonctions je peux prendre en exemple pour cet énoncé?



  • ça m'a l'air juste, cette assertion. Pour prouver, faudrait savoir ce que tu as comme définition de la limite nulle ou de la limite 1, dans ton cours...



  • Et comment on peut le prouver?
    J'ai essayé avec la définition qu'on a dans le cours mais ca ne donne rien de concluant ...



  • justement, quelles définitions as-tu ?



  • euh je n'ai pas de définition de la limite nulle ou de la limite 1 dans mon cours. La seule définition que j'ai est la suivante :

    Une suite (Un(U_n) converge en un réel l signifie que :

    Pour tout epsilon appartenant à RR^*+_+, il existe un entier naturel a, et pour tout n appartenant à N, si a<n , cela implique l-epsilon < UnU_n < l+epsilon .

    Voilà c'est la seule définition de mon cours.



  • Ok... Je la ré-écris de façon effrayante :

    \existr, εr+, an, nn, naεun+ε.\exist \ell \in \mathbf{r},\ \forall\varepsilon\in\mathbf{r}^*_+,\ \exists a\in\mathbf{n},\ \forall n\in\mathbf{n},\ n\geq a \rightarrow \ell-\varepsilon \leq u_n \leq \ell + \varepsilon.

    Note que \ell peut être 0 ou 1 : ce qui couvre les deux cas de limite nulle et de limite 1 que je te demandais.

    D'ailleurs cela signifie qu'à partir d'un certain rang (le aa), tous les unu_n sont à moins de ε\varepsilon de \ell : comme ε\varepsilon est quelconque, en particulier infiniment petit, ça donne bien l'idée intuitive que unu_n tend vers \ell, non ?



  • Le fait que un/vnu_n/v_n tende vers 1 donne l'encadrement, pour un certain ε\varepsilon fixé et pour tout entier nn à partir d'un certain rang aa

    1εun/vn1+ε ,1-\varepsilon \leq u_n/v_n \leq 1 + \varepsilon\ ,
    qui se traduit par

    vnεvnunvn+εvn ;v_n-\varepsilon v_n \leq u_n \leq v_n + \varepsilon v_n\ ;
    or on sait que vnv_n tend vers 0 : le théorème d'encadrement permet de conclure.



  • ah d'accord merci 😄



    1. Si (Vn(V_n) est convergente, alors (valeur absolue(Vnabsolue(V_n)) est convergente.

    Je pense que c'est vrai ...



  • Oui, mais pourquoi ?

    Soit \ell la limite des vnv_n, la suite des vn\mid v_n \mid tend vers ... vois avec l'inégalité triangulaire pour le montrer.



  • l'inégalité triangulaire?



  • ie : a+ba+b\mid a + b \mid \leq \mid a\mid + \mid b \mid pour tous a,,ba,,b

    on peut en déduire une majoration de $\left\mid\mid a\mid - \mid b \mid \right\mid$

    l'énoncé ne comportait pas d'indication à ce sujet ?



  • euh non aucune. je n'ai pas très bien compris ce qu'il faut faire là



  • on se doute que l'on doit montrer que vn\mid v_n\mid - \mid \ell \mid tend vers 0 ; or "on" sait (peut-être)

    ababab- \mid a - b\mid \leq \mid a\mid - \mid b \mid \leq \mid a - b\mid
    ça aide.



  • je ne comprends pas comment en montrant cela, on montre l'énoncé 4).



  • vnv_n tend vers \ell càd vnv_n - \ell tend vers 0.


Se connecter pour répondre
 

Découvre aussi nos cours et fiches méthode par classe

Les cours pour chaque niveau

Progresse en maths avec Schoolmouv

Apprends, révise et progresse avec Schoolmouv

Encore plus de réponses par ici

Il semble que votre connexion ait été perdue, veuillez patienter pendant que nous vous re-connectons.