Exercice sur les suites et leur convergence

Salut, je n'arrive pas à démontrer les énoncés de mon exercice bien que certains me paraissent évidents, si vous pouviez m'aider ca serait sympa. Merci

Si l'énoncé est vrai en donner la démonstration, s'il est faux, donner un contre exemple.

$U_n$ ) et $V_n$ ) désignent 2 suites quelconques telles que : Pour tout n appartenant à N, $v_n$ différent de 0.

Si $(U$ _n $V_n$ ) converge vers 1 , alors $U_n$ ) et $V_n$ ) sont convergentes.

Voici le premier énoncé.

Je suis convaincue qu'il est juste mais je n'arrive pas à le démontrer.

Merci de votre aide

Teste-voir avec

$vn=(−1)n+1u_n = 1+(-1)^n \qquad\text{ et } \qquad v_n=(-1)^{n+1}$
pour voir si c'est si évident que ça.

mais là $U$ _n $V_n$ ne converge pas vers 1
non?

ah si pardon je me suis trompée

donc l'énoncé est faux. d'accord merci
Je vais essayer de faire les autres énoncés moi-même sinon je reviendrai.

Si $U_n$ ) et $V_n$ ) convergent vers 0, alors $(U$ _n $V_n$ ) admet une limite finie.

Pour cela normalement c'est juste ...

Tiens :
$vn=1n2u_n = \frac1n\qquad\text{ et }\qquad v_n=\frac1{n^2}$
pour voir...

encore une erreur ... à chaque fois je choisis les mauvaises fonctions ...

Si $V_n$ ) converge vers 0 et si $(U$ _n $V_n$ ) converge vers 1, alors $U_n$ ) converge vers 0 .

Quelles fonctions je peux prendre en exemple pour cet énoncé?

ça m'a l'air juste, cette assertion. Pour prouver, faudrait savoir ce que tu as comme définition de la limite nulle ou de la limite 1, dans ton cours...

Et comment on peut le prouver?
J'ai essayé avec la définition qu'on a dans le cours mais ca ne donne rien de concluant ...

justement, quelles définitions as-tu ?

euh je n'ai pas de définition de la limite nulle ou de la limite 1 dans mon cours. La seule définition que j'ai est la suivante :

Une suite $U_n$ ) converge en un réel l signifie que :

Pour tout epsilon appartenant à $R$ ^* $+_+$ , il existe un entier naturel a, et pour tout n appartenant à N, si a<n , cela implique l-epsilon < $U_n$ < l+epsilon .

Voilà c'est la seule définition de mon cours.

Ok... Je la ré-écris de façon effrayante :

$n≥a→ℓ−ε≤un≤ℓ+ε.\exist \ell \in \mathbf{r},\ \forall\varepsilon\in\mathbf{r}^*_+,\ \exists a\in\mathbf{n},\ \forall n\in\mathbf{n},\ n\geq a \rightarrow \ell-\varepsilon \leq u_n \leq \ell + \varepsilon.$

Note que $ℓ\ell$ peut être 0 ou 1 : ce qui couvre les deux cas de limite nulle et de limite 1 que je te demandais.

D'ailleurs cela signifie qu'à partir d'un certain rang (le $a$ ), tous les $u_n$ sont à moins de $ε\varepsilon$ de $ℓ\ell$ : comme $ε\varepsilon$ est quelconque, en particulier infiniment petit, ça donne bien l'idée intuitive que $u_n$ tend vers $ℓ\ell$ , non ?

Le fait que $u_n/v_n$ tende vers 1 donne l'encadrement, pour un certain $ε\varepsilon$ fixé et pour tout entier $n$ à partir d'un certain rang $a$

$,1-\varepsilon \leq u_n/v_n \leq 1 + \varepsilon\ ,$
qui se traduit par

$;v_n-\varepsilon v_n \leq u_n \leq v_n + \varepsilon v_n\ ;$
or on sait que $v_n$ tend vers 0 : le théorème d'encadrement permet de conclure.

ah d'accord merci

Si $V_n$ ) est convergente, alors (valeur $absolue(V_n$ )) est convergente.

Je pense que c'est vrai ...

Oui, mais pourquoi ?

Soit $ℓ\ell$ la limite des $v_n$ , la suite des $v_n \mid$ tend vers ... vois avec l'inégalité triangulaire pour le montrer.

l'inégalité triangulaire?

ie : $∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣\mid a + b \mid \leq \mid a\mid + \mid b \mid$ pour tous $a,, b$

on peut en déduire une majoration de $\left\mid\mid a\mid - \mid b \mid \right\mid$

l'énoncé ne comportait pas d'indication à ce sujet ?

euh non aucune. je n'ai pas très bien compris ce qu'il faut faire là

on se doute que l'on doit montrer que $∣vn∣−∣ℓ∣\mid v_n\mid - \mid \ell \mid$ tend vers 0 ; or "on" sait (peut-être)

$\mid a - b\mid \leq \mid a\mid - \mid b \mid \leq \mid a - b\mid$
ça aide.

je ne comprends pas comment en montrant cela, on montre l'énoncé 4).

$v_n$ tend vers $ℓ\ell$ càd $vn−ℓv_n - \ell$ tend vers 0.