solution d'équations



  • Bonjour tout le monde, je viens demander de l'aide parce que je n'arrive pas à terminer un exercice pour la rentrée.

    f(x)= (2/(x-1)²)*exp((x+1)/(x-1))

    1. Démontrer que l'équation f(x)=1/2 a deux solutions dont l'une est -1. On notera β l'autre solution.
      Donner un encadrement de largeur 10210^{-2} de β.

    2. Soit a un élément de ]-∞,1[. Déterminer graphiquement, en fonction de a, le nombre de solutions de l'équation f(x)=f(a).

    J'ai bien compris que pour la première question il faut utiliser le théorème des valeurs intermédiaires mais je ne vois pas comment le rédiger.

    D'autre part je n'ai pas du tout compris la question 2), on n'a jamais fait une question pareille avant. Donc un petit peu d'aide me serait très utile. 😉

    Merci à vous ! @+



  • Bon je vais me répondre a moi meme, j'ai un peu avancé.

    J'ai laissé tomber la premiere solution qu'on nous donne deja.
    Et ensuite je me focalise sur l'intervalle [0,1[ car on a deja determiné une solution sur l'intervalle ]-∞,0].

    A partir de la j'utilise le theoreme de la bijection qui assure qu'il existe une unique solution comprise entre f(0) et f(1) (environ 0.735 pour f(0) et 0 pour f(1) )

    Et la normalement j'utilise la dichotomie mais sur la calculatrise ca ne marche pas ca me donne une erreur. Cependant ca me parait logique que β=1/2(f(0)) !
    Mais comment le rédiger ?? 😕



  • bonjour!!
    1)Pour pouvoir utiliser le théorème de la bijection sur un intervalle tu dois prouver que f et continue et strictement monotone sur cet intervalle. Donc ça implique des tableaux de variations...



  • Oui mais ca ca a été fait précédemment avec les calculs de limites, la dérivé etc...

    Le probleme c'est que je ne vois pas comment rédiger proprement ce que j'ai dis. J'ai bien compris qu'on veut me faire utiliser la bijection je n'arrive pas à "regiger" l'encadrement en fait. Tu pourrais m'aider stp ?

    Merci.



  • Oui j'espère que j'ai bien compris ce que tu me demande lol
    je trouve que la fonction est strictement croissante sur
    ]-∞,0] et strictement décroissante sur ]0,1[ et sur ]1 ,+∞[
    je trouve la limite en -∞ qui vaut 0
    f(0) =2/e
    la limite en 11^- qui vaut 0
    la limite en 1+1^+qui vaut +∞
    et la limite en +∞ qui vaut 0
    est-ce que c'est bien ça que tu trouves ?
    Parce que sinon ça sert a rien que je continue lol



  • oui en fait on s'interesse uniquement a l'intervalle ]-∞;1[.

    Oui je trouve bien ce que tu me dis grace aux precentes questions.

    Mais ensuite je ne sais pas comment dire ce que j'ai compris dans mon deuieme message. En clair j'ai compris comment faire la 1) mais je n'arrive pas à la rédiger proprement. :frowning2:



  • ok cool parce que si on s'était intéressé a tout l'ensemble de dèf on aurait eu trois solutions...
    tu dois écrire un truc du style:
    la fonction est continue et strictement croissante sur ]-∞,0]
    donc elle admet une bijection de ]-∞,0] sur ]0, 2/e]
    1/2 ∈ ]0, 2/e]
    donc f(x) = 1/2 admet une solution(unique) pour x∈]-∞,0]
    tu fais pareil pour ]0,1[
    ça te convient?



  • oui merci beaucoup !

    Par contre comme j'avais deja dit pour trouver la seconde solution β je ne peux pas utiliser la dichotomie avec ma calculatrice, y'a t-il un autre moyen de faire cet encadrement ??

    @+



  • Tu as quoi comme calculette (moi j'ai une texas 🙂 graph 35+)
    tu vas dans la fonction table
    tu tapes ta fonction
    dans RANG tu choisis ton ensemble de dèf donc
    start : 0
    end:1
    et pitch (le pas ) tu choisis 0,1 c'est suffisant
    tu regardes le tableau tu notes entre quelle est quelle valeur de x se trouve 0,5
    tu modifies ton start ton end et ton pitch (0,01)
    bien sûr tu peux directement faire
    start : 0
    end:1
    et pitch:0,01 mais la calculette te l'affiche deux minutes après lol


 

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